Bissection d'un segment de droite ou d'un arc de cercle (Figure 4.8).

Figure 4.8
Bissection d'une droite ou d'un arc de cercle

On veut diviser un segment de droite ou un arc de cercle AB, comme l'illustre la figure 4.8.a, en deux parties égales.

I. De A et B comme centres, tracez deux arcs de même rayon; celui-ci doit être plus long que la moitié de AB.

II et III. Joignez les intersections D et E par une droite pour obtenir le centre C.

Bissection d'un segment de droite à l'aide du té et de l'équerre (Figure 4.9)

Figure 4.9
Bissection d'une droite à l'aide d'une équerre et d'un té

Des extrémités A et B, menez des lignes de construction faisant 30°, ou 45° ou 60° avec la ligne donnée; ensuite, à partir de leur intersection C, abaissez une perpendiculaire à AB pour obtenir le centre D.

Pour diviser un segment à l'aide d'un compas à pointes sèches, référez-vous à la section Compas à pointes sèches.

Bissection d'un angle (Figure 4.10).

Figure 4.10
Bissection d'un angle

Pour diviser l'angle BAC en deux parties égales, vous procédez comme suit.

I. Tracez un arc de rayon R et de centre A.

II. Tracez deux arcs, dont les rayons r sont égaux et légèrement plus longs que la moitié de BC, pour obtenir l'intersection D.

III. Joignez les points A et D pour diviser l'angle donné en deux parties égales. La droite AD est la bissectrice.

Report d'un angle (Figure 4.11).

Figure 4.11
Report d'un angle

L'angle BAC est donné. On veut reporter le même angle à une nouvelle position définie par A'B'.

I. De A et A' comme centres, tracez deux arcs de cercle de même rayon R.

II. De E comme centre, tracez r' = r; ensuite, tracez un arc de cercle pour obtenir la droite A'C.

Droite passant par un point et parallèle à une autre droite (figure 4.12.a).

Figure 4.12
Tracé d'une droite passant par un point et parallèle à une autre droite

Avec le point P donné comme centre, tracez un arc de cercle CD dont le rayon R, arbitrairement choisi, coupe la droite donnée AB en E.

De E comme centre, tracez un arc de cercle, de rayon R, coupant la droite AB en G.

De G comme centre, décrivez un arc de cercle, de rayon r = PG pour obtenir M.

La droite cherchée est PH.

Méthode pratique (Figure 4.12.b)

Déplacez ensemble le té et l'équerre jusqu'à ce qu'un côté de l'équerre se confonde avec la droite donnée AB.

Glissez ensuite l'équerre le long du té jusqu'à ce qu'elle touche le point P.

Tracez CD pour obtenir la droite cherchée.

Ligne parallèle à une distance donnée d'une ligne.

Soient la droite AB et la distance CD.

Figure 4.13.a. Choisissez, sur AB, deux points, E et F, aussi éloignés que possible.

De E et F comme centres, tracez deux arcs de cercle de même rayon, R = CD.

La droite G H, tangente aux deux arcs, est la droite cherchée.

Figure 4.13
Tracé d'une droite parallèle à une distance donnée d'une autre droite

Méthode pratique (Figure 4.13.b).

De E, arbitrairement choisi sur AB, comme centre, tracez un arc de cercle JK de rayon R = CD.

Déplacez ensemble le té et l'équerre jusqu'à ce qu'un côté de l'équerre se confonde avec AB; puis, glissez l'équerre le long du té jusqu'à ce que côté soit tangent à l'arc JK et tracez la ligne cherchée G H.

Figure 4.13.C. Si la ligne AB donnée n'est pas une droite, tracez une série d'arcs de cercle de même rayon, R = CD, et de centres arbitrairement choisis sur AB.

Ensuite, tracez la ligne cherchée, qui est tangente à ces arcs (ou à l'enveloppe de ces arcs), à l'aide de la méthode expliquée à la section Pistolets.

Division d'un segment de droite en parties égales (Figure 4.14).

Figure 4.14
Division d'un segment de droite en parties égales

Pour diviser un segment donné en plusieurs parties égales, trois par exemple, vous procédez comme suit.

I. Tracez, tout d'abord, une ligne de construction fine, à partir d'une des extrémités de la droite donnée, faisant un angle quelconque avec celle-ci.

II. Portez sur cette ligne, à l'aide d'un compas ou d'une règle, trois (ou autant qu'il en faut) segments égaux de longueur quelconque.

III. Joignez le dernier point de division à l'autre extrémité de la droite donnée.

IV. Glissez l'équerre le long du té pour tracer des parallèles passant par les autres points de division, comme l'illustre la figure.

Cette méthode de construction est une application directe du théorème de Thaïes en géométrie plane.

Division d'un segment de droite en parties égales.

Méthode pratique (Figure 4.15).

Figure 4.15
Division d'un segment de droite en parties égales

I. Tracez une ligne de construction verticale passant par une extrémité du segment donné.

II. Placez le zéro de l'échelle d'une règle vis-à-vis de l'autre extrémité du segment.

III. Tournez lentement la règle jusqu'à ce que la troisième grande division touche la ligne de construction verticale. Notez les positions des deux autres divisions à l'aide d'un crayon pointu ou d'une pointe sèche.

IV. Élevez des lignes verticales passant par ces deux points.

Quelques applications de cette méthode sont illustrées à la figure 4.16.

Figure 4.16
Applications pratiques de la division d'un segment de droite en parties égales

Division d'un segment de droite en parties proportionnelles.

Il s'agit de diviser un segment donné en parties de longueurs inégales et proportionnelles à une suite définie.

Le principe de construction est identique à celui de la Figure 4.15, à l'exception du choix des divisions sur la règle.

Celui-ci doit être fait en fonction des proportions données. Aux figures 4.17. a et 4.17.b, il s'agit de diviser la droite AB en trois segments qui sont proportionnels à 2, 5 et 9. Les constructions de ce genre sont utiles dans la préparation des échelles des graphes.

Figure 4.17
Division d'un segment de droite en parties proportionnelles

A la figure 4.17.C, AB est divisé en quatre segments qui sont proportionnels à X2 où X = 1, 2, 3, 4 ... Ce genre de construction est utilisé dans la préparation des échelles des nomogrammes (ou abaques).

Construction d'une droite passant par un point et perpendiculaire à une droite.

Soient la droite AB et un point P.

Le point N'est pas sur la droite (Figure 4.18.a).

Figure 4.18
Tracé d'une droite passant par un point et perpendiculaire à une autre droite

Par le point P, tracez une droite quelconque inclinée, telle que PD. Déterminez le centre C de la droite PD et tracez un arc de rayon CP pour obtenir E. La droite EP est la perpendiculaire cherchée.

Le point est sur la droite (Figure 4.18.c).

De P comme centre, tracez, à partir d'un rayon quelconque, des arcs qui coupent AB en D et en G.

De D et G comme centres, choisissez un rayon légèrement plus grand que la moitié de DG et tracez des arcs égaux se coupant en F.

La droite PF est la perpendiculaire cherchée.

Figure 4.18.d. Choisissez une unité de longueur commode, par exemple 6 mm.

De P comme centre et à partir d'un rayon de 3 unités, tracez un arc qui coupe la droite donnée en C.

De P comme centre et à partir d'un rayon de 4 unités, tracez l'arc DE.

De C comme centre et à partir d'un rayon de 5 unités, tracez un arc qui coupe DE à F.

La droite PF est la perpendiculaire cherchée, cherchée.

Cette méthode est fréquemment utilisée lors du traçage des fondations rectangulaires de grosses machines, d'édifices ou d'autres structures. A cette fin, on peut utiliser un ruban d'acier et choisir des longueurs de 9, 12 et 15 m pour les trois côtés du triangle rectangle.

Méthode pratique (Figure 4.18.e). Déplacez ensemble l'équerre et le té jusqu'à ce que l'équerre soit en ligne avec AB; glissez alors l'équerre jusqu'à ce que son arête passe par le point P (que P soit sur AB ou non) et tracez la perpendiculaire désirée RP.