Diagrammes vectoriels

Électrotechnique

Lors de la résolution des circuits à courant continu, on a eu recours aux lois de Kirchhoff
(section Solutions des circuits à courant continu). Les mêmes lois s'appliquent aux circuits à courant alternatif.

Cependant, comme les tensions et les courants sinusoïdaux ne sont pas nécessairement en phase et comme ils varient périodiquement en fonction du temps, il a fallu inventer une méthode simple pour résoudre ces circuits. Cette méthode repose sur le concept de vecteurs et de diagrammes vectoriels.

Somme de deux courants sinusoïdaux

Soient une résistance de 40Ω et une réactance inductive de 30Ω branchées en parallèle sur une source de tension sinusoïdale de 120V (valeur crête). On désire connaître la valeur du courant I_T fourni par la source (Fig. 23-1).

Figure 23-1 Circuit composé d'une résistance en parallèle avec une réactance inductive. On cherche la valeur du courant IT

La tension étant la même aux bornes de chaque élément, le courant I_R dans la résistance et le courant I_x dans la réactance sont respectivement de 3A et de 4A 1valeurs crêtes). D'après les lois régissant les circuits à courant continu, on pourrait penser que le courant total I_T est de 3 + 4 = 7A.

Cependant, le courant I_x dans la réactance est déphasé de 90° en arrière de la tension tandis que le courant I_R dans la résistance est en phase avec la tension (Fig. 23-2).

Figure 23-2 Forme d'ondes de E, I_R et I_x La forme d'onde de I_T est obtenue en additionnant les valeurs instantanées de I_R et I_x

Pour connaître le véritable courant I_T résultant, il faut effectuer l'addition des courants I_R et I_x  à chaque instant.

Par exemple, à 60°:

I_R = 0,866 x 3A = +2,6A

I_x =0,50 x -4A=-2,0A

I_T = I_R et I_x = 2,6 -2,0 = 0,6A

En répétant cette addition à différents instants on trouve une nouvelle courbe sinusoïdale I_T dont la valeur crête est de 5A (Fig. 23-2).

De plus, cette courbe est décalée de 53° en arrière de la tension.

Dans cet exemple, la somme de 3A et 4A donne 5A et non pas 7A.

Cette méthode pour trouver la somme de deux courants alternatifs est laborieuse ; c'est pourquoi on a recours à un procédé graphique plus commode: la technique des vecteurs tournants.

Concept de vecteur tournant

Considérons deux axes perpendiculaires AB et CD qui se coupent au point O, soit à l'origine (Fig. 23-3a).

Figure 23-3a Un vecteur tournant à vitesse constante autour de l'origine génère une onde sinusoïdale

Imaginons une droite d'une longueur de 100 mm tournant autour du point O dans le sens antihoraire. La droite porte une flèche à l'extrémité opposée à l'origine.

On peut, à chaque position de la droite, mesurer l'angle de rotation 0 et la hauteur H correspondante projetée sur l'axe CD. Par exemple, lorsque l'angle est de 30°, la hauteur H mesure 50 mm, et quand l'angle est 90°, H mesure 100 mm.

Si l'on considère ces hauteurs comme étant positives lorsqu'elles sont au-dessus de l'axe AB et négatives quand elles sont en dessous, on peut dresser un tableau des hauteurs en fonction de l'angle (voir le tableau 23-1).

En traçant le graphique de H en fonction de 0, on obtient une onde sinusoïdale (Fig. 23-3b).

Il est évident que les valeurs des angles et des hauteurs se répètent chaque fois que la ligne droite (appelée vecteur) exécute un tour, de sorte que ce système possède une période semblable à celle d'une tension ou d'un courant sinusoïdal.

Ainsi, un vecteur de 170 mm de long tournant à une vitesse de 60 tours par seconde (60 r/s) peut représenter une tension de 170V crête, ayant une fréquence de 60 Hz.

Un cycle complet correspond à 360° mais, au fur et à mesure que le vecteur tourne, il passe par des valeurs d'angles bien supérieures à 360°.

Par exemple, un angle de 7350° correspond à 7350 - 360 = 20,4166 tours, soit (20 tours + 0,4166 tour), ce qui équivaut à 0,4166 x 360° = 150°.

Donc, un angle de 7350° génère la même hauteur H qu'un angle de 150°. Il est donc possible de représenter une tension sinusoïdale au moyen d'un vecteur tournant dont la longueur est égale à la valeur crête de la tension, et dont la vitesse de rotation correspond à la fréquence. Un courant sinusoïdal peut être représenté de la même manière.

Cette représentation des courants et des tensions par des diagrammes vectoriels facilite énormément la solution des circuits à courant alternatif.

En génie électrique, on adopte généralement comme valeur instantanée la projection du vecteur, non pas sur l'axe vertical CD, mais sur l'axe horizontal AB.

Dans cette section, nous avons décidé d'utiliser la projection sur l'axe vertical pour faciliter la visualisation du vecteur et de l'onde qu'il génère. Les deux méthodes de projection donnent exactement les mêmes résultats; en effet, il suffit de tourner les axes AB et CD de 90° dans le sens horaire pour arriver à la représentation classique utilisée par les ingénieurs.

 Représentation d'une tension sinusoïdale

La longueur d'un vecteur et sa vitesse de rotation décrivent respectivement sa valeur crête et sa fréquence. De plus, sa position sur un diagramme vectoriel sert à définir sa valeur initiale. Considérons, par exemple, le vecteur représentant une tension de 100 V crête dont la fréquence est 60 Hz (Fig. 23-4a).

Figure 23-4

a. Un vecteur peut représenter complètement une onde sinusoïdale b. Onde générée par le vecteur

Il fait un angle de 30° avec l'axe horizontal AB ; sa projection sur la ligne CD est donc de 50V. Cette projection OP représente la valeur initiale de la tension. Le vecteur gras de la Fig. 23-4a représente alors la forme d'onde donnée à la Fig. 23-4b.

De façon générale, la valeur d'une grandeur (tension, courant, etc.) qui varie sinusoïdalement est donnée par l'équation:

ou

V = valeur instantanée de la grandeur
V_m = valeur crête de la grandeur
θ = angle exécuté à partir de t = 0, en degrés [°]
α = angle de déphasage, en degrés [°]
f = fréquence, en hertz [Hz]
t = temps, en secondes [s]
360 = constante tenant compte des unités

Cette équation peut être représentée graphiquement, soit par le vecteur gras de la Fig. 23-5a, soit par la forme d'onde de la Fig. 23-5b.

Figure 23-5 Diagramme vectoriel et forme d'onde correspondant à l'équation

V = V_m sin (θ + α) = = V_m sin (360 ft + α)

Exemple 23-1

Un courant sinusoïdal à 180 Hz a une valeur crête de 8A et un angle de déphasage de 240°.

Figure 23-6 Voir exemple 23-1

Déterminer.

a) L'expression algébrique du courant

b) la valeur instantanée du courant à t = 3,03 s

c) la valeur du courant lorsque l'angle θ= 210 °

d) tracer le diagramme vectoriel du courant et sa forme d'onde

Solution

a) L'expression algébrique du courant est donnée par la formule:

b) la valeur instantanée du courant à t = 3,63 s est :

c) la valeur du courant à 0 = 210° est :

Représentation de plusieurs vecteurs Essayons d'appliquer la méthode des vecteurs au circuit de la Fig. 23-1. Rappelons que la tension E et le courant I_T sont respectivement de 1.20V et 5A et que le courant est décalé de 53° en arrière de la tension.

On peut représenter ces deux grandeurs par les vecteurs de la Fig. 23-7.

Figure 23-7 Représentation à l'échelle des vecteurs correspondant à E et I R de la figure 23-2

Pour construire ce diagramme vectoriel, on choisit d'abord une échelle convenable pour la tension et une autre pour le courant.

Ainsi, 1 mm pourrait représenter une tension de 2V de sorte que le vecteur de la tension (120V) aurait une longueur de 60 mm. De la même façon, 8 mm pourrait représenter un courant de 1A, de sorte que le vecteur de courant (5A) aurait une longueur de 40 mm.

Quelle position devons nous donner au vecteur de tension?

Nous avons arbitrairement choisi la position horizontale, avec la flèche orientée vers la droite.

Cependant, dès qu'on a choisi la position du vecteur E, celle du courant n'est plus arbitraire. En effet, la fréquence du courant et de la tension étant la même, les deux vecteurs tournent à la même vitesse, ce qui fait que le courant est toujours décalé de 53° en arrière de la tension, quelle que soit sa position.

Dans la Fig. 23-7 nous avons négligé la présence des axes AB et CD, tout en imaginant qu'ils existent en arrière-plan. On peut compléter ce diagramme en ajoutant les courants I_R et I_x de la Fig. 23-1, ce qui nous donne le diagramme vectoriel de la Fig. 23-8.

Figure 23-8 Représentation vectorielle de la tension et des courants de la figure 23-2

Noter que le vecteur I_R est en phase avec le vecteur de tension E alors que le vecteur I_x est décalé de 90° en arrière de E. La Fig. 23-8 représente donc la même information que les courbes de la Fig. 23-2; on réalise immédiatement la grande simplification apportée par le diagramme vectoriel.

Addition de vecteurs