Chapitre 8 - Lois de Kirchhoff

Mon premier cours en électronique

De nombreux types de circuits ont des composants qui ne sont ni en série, ni en parallèle, ni en montage mixte.

La figure 8-3 donne un exemple d'un circuit à deux tensions appliquées dans des branches différentes. Un montage en pont déséquilibré nous en fournit un autre exemple.

Des méthodes générales d'analyse s'imposent lorsque les règles relatives aux circuits série et parallèle ne peuvent pas être appliquées.

Ces méthodes comportent l'application des lois de Kirchhoff telles que nous les décrivons ici, ainsi que les théorèmes de réseau expliqués dans le chapitre 9. Tout circuit peut être résolu par les lois de Kirchhoff car celles-ci ne dépendent pas des connexions série ou parallèle.

Établies en 1847 par le physicien allemand Gustav R. Kirchhoff, les deux règles fondamentales pour les tensions et les courants sont les suivantes:

1. La somme algébrique des sources de tension et des chutes de tension IR doit correspondre à zéro le long de tout parcours fermé;

2. À un point quelconque du circuit, la somme algébrique des courants dirigés vers l'intérieur et l'extérieur doit être nulle.

Des méthodes spécifiques d'application de ces règles fondamentales sont expliquées sous les rubriques suivantes:

8.1 Loi des courants de Kirchhoff

8.2 Loi des tensions de Kirchhoff

8.3 Méthodes des courants de branches

8.4 Analyse de la tension aux noeuds

8.5 Méthode des courants de mailles

8.1 LOI DES COURANTS DE KIRCHHOFF

La somme algébrique des courants entrant et sortant d'un point quelconque du circuit doit être nulle.

En d'autres termes: la somme algébrique des courants arrivant à un point quelconque du circuit doit égaler la somme algébrique des courants s'éloignant de ce point.

Autrement, la charge s'accumulerait sur ce point au lieu de donner un parcours conducteur.

Signes algébriques

Il est nécessaire, si on utilise les lois de Kirchhoff pour résoudre des circuits, d'adopter des conventions qui déterminent les signes algébriques en termes de courant et de tension.

Le système suivant est pratique pour le courant:

Considérer que tous les courants arrivant dans un point de la branche sont positifs et que tous les courants qui s'éloignent de ce point sont négatifs.

Par exemple, pour la figure 8-1, nous pouvons écrire les courants comme suit:

I_A + I_B + I_C = 0 = 5A + 3A - 8A = 0

Figure 8-1 Le courant I_C s'éloignant de P est égal à 5 A +3 A, il a la même valeur que le courant arrivant en P

Comme leurs courants s'écoulent dans P, I_A et I_B sont des expressions positives.

Mais I_C, qui est dirigé vers l'extérieur, est négatif.

Équations des courants

Référons-nous au point c, au sommet du diagramme de la figure 8-2, pour une application à un circuit.

Le courant I_T de 6A arrivant au point c se divise en deux courants:

I₃ = 2A et I_4-5 = 4A, tous deux s'éloignant de c.

Remarquons que I_4-5 est le courant passant par R4 et R5.

L'équation algébrique est:

I_T - I₃ - I_4-5 = 0

En substituant les valeurs pour ces courants, on obtient:

6A - 2A - 4A = 0

Pour les directions opposées, référons-nous au point d au bas de la figure 8-2.

Figure 8-2 Circuit mixte illustrant les lois de Kirchhoff. Se reporter au texte pour les équations des courants et des tensions.

Ici, les courants de branche arrivant en d se combinent pour égaler le courant I_T de la ligne principale retournant à la source de tension. Or, I_T s'éloigne de d, tandis que I₃ et I_4-5 s'en rapprochent.

L'équation algébrique est alors:

-I_T + I₃ + I_4-5

-6A + 2A + 4A = 0

I arrivant = I s'éloignant

Remarquons que, soit au point c, soit au point d de la figure 8-2, la somme des courants de branches 2A et 4A doit être égale au courant de ligne total 6A.

Par conséquent, on peut résumer la loi des courants de Kirchhoff par: I arrivant = I s'éloignant.

Pour la figure 8-2, on peut écrire les équations des courants de la manière suivante:

Au point c: 6A = 2A + 4A

Au point d: 2A + 4A = 6A

La loi des courants de Kirchhoff est réellement la base de la règle pratique dans les circuits parallèle selon laquelle le courant de ligne total doit être égal à la somme des courants de branches.

Problèmes pratiques 8.1 (réponses à la fin du chapitre)

(a) Soit les courants Ii = 1 A, I2 = 2 A et 73 = 3 A s'approchant d'un point. Calculer le courant / s'en éloignant.

(b) Le courant /j de 3 A s'approche d'un point, le courant / s'en éloignant est de 7 A. Calculer I2 s'approchant de ce même point.

8.2 LOI DES TENSIONS DE KIRCHHOFF

La somme algébrique des tensions autour d'un parcours fermé donné est égale à zéro.

Si l'on part d'un point quelconque correspondant à une tension et si l'on retourne au même point et à la même tension, la différence de tension doit être égale à zéro.

Signes algébriques

Si l'on veut déterminer les signes algébriques pour des termes de tension, il faut marquer tout d'abord la polarité de chaque tension comme l'indique la figure 8-2.

Un système pratique consistera à contourner tout le parcours fermé et à considérer comme positive une tension dont la borne positive est atteinte en premier et vice versa.

Cette méthode s'applique aux chutes de tension et aux sources de tension.

Ce sens de parcours est celui des aiguilles d'une montre ou le sens contraire. De toute façon, si l'on retourne au point de départ, la somme algébrique de toutes les tensions doit être égale à zéro.

Si on ne revient pas au point de départ, la somme algébrique sera alors la tension entre les points de départ et d'aboutissement.

On peut suivre tout parcours fermé, car la tension nette entre deux points d'un circuit est la même, quel que soit le parcours utilisé pour déterminer la différence de potentiel.

Équations des boucles

Tout parcours fermé s'appelle une boucle. L'équation d'une boucle précise les tensions qu'elle comporte le long de son trajet.

La figure 8-2 comprend trois boucles: la boucle extérieure, partant du point a au sommet passant par cefdb et revenant à a, comprend les chutes de tension V1, V4, V5 et V2, ainsi que la source VT.

La boucle intérieure acdba comprend V1, V3, V2 et VT. L'autre boucle intérieure cefdc avec V4, V5 et V3 ne comprend pas la tension de source VT.

Considérons l'équation des tensions pour la boucle intérieure avec VT. Dans le sens des aiguilles d'une montre, en partant du point a, la somme algébrique des tensions sera:

-v1 - v3 - v2 + vT = 0

ou encore:

-30V - 120V - 90V + 240V = 0

Les tensions V1, V3 et V2 portent un signe négatif, car pour chacune d'entre elles la borne négative est atteinte la première.

Toutefois, la source VT a un signe positif car sa borne positive est atteinte la première, en allant dans le même sens.

Dans le sens opposé, en allant dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, dans la même boucle à partir du point b, au bas, V2, V3 et V1 ont des valeurs positives et VT est négatif.

Donc:

V2 + V3 + V1 - VT = 0

ou

 90V + 120 V + 30 V - 240 V = 0

Si nous transposons le terme négatif -240V, l'équation deviendra:

90V + 120 V + 30 V = 240 V

Cette équation indique que la somme des chutes de tension est égale à la tension appliquée.

ΣV = VT

La lettre grecque Σ, signifie somme de.

Quel que soit le sens de parcours d'une boucle quelconque, la somme des chutes de tension IR sera égale à la tension appliquée VT.

Sur la figure 8-2, en considérant la boucle intérieure comportant la source VT et parcourue dans le sens opposé aux aiguilles d'une montre à partir de b, on a:

90V + 120 V + 30 V = 240V

Ce système n'est pas en contradiction avec la règle des signes algébriques.

Si la tension de 240 V était située sur le côté gauche de l'équation, cette expression aurait un signe négatif.

En posant une équation de boucle telle que ΣV = VT, on élimine la nécessité de transposer les membres négatifs d'un côté à l'autre pour les rendre positifs.

Sous cette forme, les équations de boucle montrent que la loi des tensions de Kirchhoff est la base réelle des règles pratiques pour les circuits série selon laquelle la somme des chutes de tension doit être égale à la tension appliquée.

Si une boucle est dépourvue de source de tension, la somme algébrique des chutes de tension IR seule doit être égale à zéro.

Par exemple, dans la figure 8-2, en ce qui concerne la boucle cefdc sans la source VT, en allant dans le sens des aiguilles d'une montre à partir du point c, l'équation de boucle des tensions sera:

-V4 - V5 + V3 = 0

-40V -80V + 120V = 0

0 = 0

Remarquons que V3 est devenu positif, car sa borne positive est atteinte la première en circulant dans le sens des aiguilles d'une montre dans cette boucle, de d à c.

Problèmes pratiques 8.2 (réponses à la fin du chapitre) Considérer la figure 8-2:

(a) Soit le parcours cefd, on donne V4 = -40 V et V5= -80 V. Calculer la tension totale;

(b) Soit la boucle cefdc, on donne V4 = -40 V, V5= -80 V. Calculer la tension totale en incluant les 120 V de V3.

8.3 MÉTHODE DES COURANTS DE BRANCHES