Chapitre 8 - Lois de Kirchhoff

Mon premier cours en électronique

De nombreux types de circuits ont des composants qui ne sont ni en série, ni en parallèle, ni en montage mixte.

La figure 8-3 donne un exemple d'un circuit à deux tensions appliquées dans des branches différentes. Un montage en pont déséquilibré nous en fournit un autre exemple.

Des méthodes générales d'analyse s'imposent lorsque les règles relatives aux circuits série et parallèle ne peuvent pas être appliquées.

Ces méthodes comportent l'application des lois de Kirchhoff telles que nous les décrivons ici, ainsi que les théorèmes de réseau expliqués dans le chapitre 9. Tout circuit peut être résolu par les lois de Kirchhoff car celles-ci ne dépendent pas des connexions série ou parallèle.

Établies en 1847 par le physicien allemand Gustav R. Kirchhoff, les deux règles fondamentales pour les tensions et les courants sont les suivantes:

1. La somme algébrique des sources de tension et des chutes de tension IR doit correspondre à zéro le long de tout parcours fermé;

2. À un point quelconque du circuit, la somme algébrique des courants dirigés vers l'intérieur et l'extérieur doit être nulle.

Des méthodes spécifiques d'application de ces règles fondamentales sont expliquées sous les rubriques suivantes:

8.1 Loi des courants de Kirchhoff

8.2 Loi des tensions de Kirchhoff

8.3 Méthodes des courants de branches

8.4 Analyse de la tension aux noeuds

8.5 Méthode des courants de mailles

8.1 LOI DES COURANTS DE KIRCHHOFF

La somme algébrique des courants entrant et sortant d'un point quelconque du circuit doit être nulle.

En d'autres termes: la somme algébrique des courants arrivant à un point quelconque du circuit doit égaler la somme algébrique des courants s'éloignant de ce point.

Autrement, la charge s'accumulerait sur ce point au lieu de donner un parcours conducteur.

Signes algébriques

Il est nécessaire, si on utilise les lois de Kirchhoff pour résoudre des circuits, d'adopter des conventions qui déterminent les signes algébriques en termes de courant et de tension.

Le système suivant est pratique pour le courant:

Considérer que tous les courants arrivant dans un point de la branche sont positifs et que tous les courants qui s'éloignent de ce point sont négatifs.

Par exemple, pour la figure 8-1, nous pouvons écrire les courants comme suit:

I_A + I_B + I_C = 0 = 5A + 3A - 8A = 0

Figure 8-1 Le courant I_C s'éloignant de P est égal à 5 A +3 A, il a la même valeur que le courant arrivant en P

Comme leurs courants s'écoulent dans P, I_A et I_B sont des expressions positives.

Mais I_C, qui est dirigé vers l'extérieur, est négatif.

Équations des courants

Référons-nous au point c, au sommet du diagramme de la figure 8-2, pour une application à un circuit.

Le courant I_T de 6A arrivant au point c se divise en deux courants:

I₃ = 2A et I_4-5 = 4A, tous deux s'éloignant de c.

Remarquons que I_4-5 est le courant passant par R4 et R5.

L'équation algébrique est:

I_T - I₃ - I_4-5 = 0

En substituant les valeurs pour ces courants, on obtient:

6A - 2A - 4A = 0

Pour les directions opposées, référons-nous au point d au bas de la figure 8-2.

Figure 8-2 Circuit mixte illustrant les lois de Kirchhoff. Se reporter au texte pour les équations des courants et des tensions.

Ici, les courants de branche arrivant en d se combinent pour égaler le courant I_T de la ligne principale retournant à la source de tension. Or, I_T s'éloigne de d, tandis que I₃ et I_4-5 s'en rapprochent.

L'équation algébrique est alors:

-I_T + I₃ + I_4-5

-6A + 2A + 4A = 0

I arrivant = I s'éloignant

Remarquons que, soit au point c, soit au point d de la figure 8-2, la somme des courants de branches 2A et 4A doit être égale au courant de ligne total 6A.

Par conséquent, on peut résumer la loi des courants de Kirchhoff par: I arrivant = I s'éloignant.

Pour la figure 8-2, on peut écrire les équations des courants de la manière suivante:

Au point c: 6A = 2A + 4A

Au point d: 2A + 4A = 6A

La loi des courants de Kirchhoff est réellement la base de la règle pratique dans les circuits parallèle selon laquelle le courant de ligne total doit être égal à la somme des courants de branches.

Problèmes pratiques 8.1 (réponses à la fin du chapitre)

(a) Soit les courants Ii = 1 A, I2 = 2 A et 73 = 3 A s'approchant d'un point. Calculer le courant / s'en éloignant.

(b) Le courant /j de 3 A s'approche d'un point, le courant / s'en éloignant est de 7 A. Calculer I2 s'approchant de ce même point.

8.2 LOI DES TENSIONS DE KIRCHHOFF

La somme algébrique des tensions autour d'un parcours fermé donné est égale à zéro.

Si l'on part d'un point quelconque correspondant à une tension et si l'on retourne au même point et à la même tension, la différence de tension doit être égale à zéro.

Signes algébriques

Si l'on veut déterminer les signes algébriques pour des termes de tension, il faut marquer tout d'abord la polarité de chaque tension comme l'indique la figure 8-2.

Un système pratique consistera à contourner tout le parcours fermé et à considérer comme positive une tension dont la borne positive est atteinte en premier et vice versa.

Cette méthode s'applique aux chutes de tension et aux sources de tension.

Ce sens de parcours est celui des aiguilles d'une montre ou le sens contraire. De toute façon, si l'on retourne au point de départ, la somme algébrique de toutes les tensions doit être égale à zéro.

Si on ne revient pas au point de départ, la somme algébrique sera alors la tension entre les points de départ et d'aboutissement.

On peut suivre tout parcours fermé, car la tension nette entre deux points d'un circuit est la même, quel que soit le parcours utilisé pour déterminer la différence de potentiel.

Équations des boucles

Tout parcours fermé s'appelle une boucle. L'équation d'une boucle précise les tensions qu'elle comporte le long de son trajet.

La figure 8-2 comprend trois boucles: la boucle extérieure, partant du point a au sommet passant par cefdb et revenant à a, comprend les chutes de tension V1, V4, V5 et V2, ainsi que la source VT.

La boucle intérieure acdba comprend V1, V3, V2 et VT. L'autre boucle intérieure cefdc avec V4, V5 et V3 ne comprend pas la tension de source VT.

Considérons l'équation des tensions pour la boucle intérieure avec VT. Dans le sens des aiguilles d'une montre, en partant du point a, la somme algébrique des tensions sera:

-v1 - v3 - v2 + vT = 0

ou encore:

-30V - 120V - 90V + 240V = 0

Les tensions V1, V3 et V2 portent un signe négatif, car pour chacune d'entre elles la borne négative est atteinte la première.

Toutefois, la source VT a un signe positif car sa borne positive est atteinte la première, en allant dans le même sens.

Dans le sens opposé, en allant dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, dans la même boucle à partir du point b, au bas, V2, V3 et V1 ont des valeurs positives et VT est négatif.

Donc:

V2 + V3 + V1 - VT = 0

ou

 90V + 120 V + 30 V - 240 V = 0

Si nous transposons le terme négatif -240V, l'équation deviendra:

90V + 120 V + 30 V = 240 V

Cette équation indique que la somme des chutes de tension est égale à la tension appliquée.

ΣV = VT

La lettre grecque Σ, signifie somme de.

Quel que soit le sens de parcours d'une boucle quelconque, la somme des chutes de tension IR sera égale à la tension appliquée VT.

Sur la figure 8-2, en considérant la boucle intérieure comportant la source VT et parcourue dans le sens opposé aux aiguilles d'une montre à partir de b, on a:

90V + 120 V + 30 V = 240V

Ce système n'est pas en contradiction avec la règle des signes algébriques.

Si la tension de 240 V était située sur le côté gauche de l'équation, cette expression aurait un signe négatif.

En posant une équation de boucle telle que ΣV = VT, on élimine la nécessité de transposer les membres négatifs d'un côté à l'autre pour les rendre positifs.

Sous cette forme, les équations de boucle montrent que la loi des tensions de Kirchhoff est la base réelle des règles pratiques pour les circuits série selon laquelle la somme des chutes de tension doit être égale à la tension appliquée.

Si une boucle est dépourvue de source de tension, la somme algébrique des chutes de tension IR seule doit être égale à zéro.

Par exemple, dans la figure 8-2, en ce qui concerne la boucle cefdc sans la source VT, en allant dans le sens des aiguilles d'une montre à partir du point c, l'équation de boucle des tensions sera:

-V4 - V5 + V3 = 0

-40V -80V + 120V = 0

0 = 0

Remarquons que V3 est devenu positif, car sa borne positive est atteinte la première en circulant dans le sens des aiguilles d'une montre dans cette boucle, de d à c.

Problèmes pratiques 8.2 (réponses à la fin du chapitre) Considérer la figure 8-2:

(a) Soit le parcours cefd, on donne V4 = -40 V et V5= -80 V. Calculer la tension totale;

(b) Soit la boucle cefdc, on donne V4 = -40 V, V5= -80 V. Calculer la tension totale en incluant les 120 V de V3.

8.3 MÉTHODE DES COURANTS DE BRANCHES

Nous pouvons maintenant utiliser les lois de Kirchhoff pour analyser le circuit de la figure 8-3. Il s'agit de trouver les courants et les tensions des trois résistances.

Figure 8-3 Application des lois de Kirchhoff à un circuit comportant deux sources dans des branches différentes. Se reporter au texte pour la solution obtenue en trouvant les courants de branches.

Indiquons tout d'abord le sens des courants et marquons la polarité aux bornes de chaque résistance correspondant au sens supposé du courant. Ne pas oublier que le flux d'électrons dans une résistance produit une polarité négative là où le courant pénètre.

Dans la figure 8-3, nous supposons que la source V₁ fournit un flux d'électrons de gauche à droite passant par R₁ tandis que V₂ produit un flux d'électrons de droite à gauche passant par R₂.

Les trois courants différents dans R₁, R₂ et R₃ sont indiqués par I₁, I₂ et I₃.

Toutefois, trois inconnues exigent trois équations pour calculer leur solution.

À partir de la loi des courants de Kirchhoff:

I₃ = I₁ + I₂, car le courant provenant du point c doit être égal au courant d'entrée.

Par conséquent, le courant passant par R3 peut être désigné par I₁ + I₂.

S'il y a deux inconnues, il faut deux équations indépendantes pour résoudre I₁ et I₂. Ces équations s'obtiennent en écrivant deux équations de la loi des tensions de Kirchhoff sur deux boucles.

La figure 8-3 comprend trois boucles, la boucle extérieure et deux boucles intérieures, mais deux boucles suffisent.

Pour cette solution, on utilise les boucles intérieures.

Écriture des équations des boucles

Pour la boucle avec V₁ commencer au point b, au bas, à gauche, et aller dans le sens des aiguilles d'une montre en passant par V₁, V_R1 et V_R3.

L'équation de la boucle 1 sera:

84 - V_R1 - V_R3

En ce qui concerne la boucle avec V₂, commencer au point f à la partie inférieure droite, et aller dans le sens opposé des aiguilles d'une montre via V₂, V_R2 et V_R3.

Cette équation pour la boucle 2 sera:

21 - V_R2 - V_R3 = 0

En se servant des valeurs connues de R₁, R₂ et R₃ pour spécifier les chutes de tension IR, on a alors:

V_R1 =I₁R₁ = 12I₁

V_R2 = I₂R₂ = 3I₂

V_R3=(I₁+ I₂)R₃ = 6(I₁+ I₂)

Si on remplace ces valeurs dans l'équation des tensions de la boucle 1, on obtient:

84 - 12I₁ - 6(I₁ + I₂) = 0

De plus, dans la boucle 2:

84 - 12I₁ - 6(I₁ + I₂) = 0

En multipliant (I₁ + I₂) par 6, en combinant les expressions et en faisant la transposition des termes de l'équation, ces deux équations deviennent:

-18I₁ - 6₂ = -84

-6I₁ - 9₂ = -21

Divisons l'équation du haut par -6 et l'équation du bas par -3 pour diminuer les coefficients et pour n'avoir que des expressions positives.

Les deux équations deviennent alors, dans leur expression la plus simple:

3I₁ + I₂ = 14

2I₁ + 3I₂ = 7

Solution pour les courants

Ces deux équations aux deux inconnues I₁ et I₂ contiennent la solution du réseau. Il faut remarquer que ces équations comprennent chaque résistance du circuit. I₁ et I₂ peuvent se calculer par n'importe quelle méthode de résolution d'équations simultanées.

En utilisant la méthode d'élimination, il faut multiplier l'équation du haut par 3 pour que les termes en I₂ soient les mêmes dans les deux équations.

Donc:

9I₁ + 3I₂= 42

2I₁ + 3I₂ = 7

Il faut ensuite soustraire la deuxième équation de la première, terme à terme, pour éliminer J2. Donc, comme le terme I2 devient zéro:

7I₁ = 35

I₁ = 5A

Le courant I₁ de 5 A est le courant traversant R₁. Comme on l'a supposé, sa direction va de a à c, car la réponse pour I₁ est positive.

Pour calculer I₂, remplacer I₁ par 5 dans l'une ou l'autre des deux équations des boucles.

En utilisant l'équation du bas pour la substitution, on obtient:

2(5) + 3I₂ = 7

3I₂ = 7-10

3I₂=-3

I₂=-1A

Le signe négatif pour I₂ signifie que le courant est opposé à la direction supposée. I₂ circule donc de c à e en traversant R2 au lieu d'emprunter la direction de e à c.

Explication de la valeur négative de I₂

On a supposé, sur la figure 8-3, que I₂ circulait du point e au point c en passant par R₂, car V₂ produit un flux d'électrons dans ce sens.

Toutefois, l'autre source de tension, V₁ produit un flux d'électrons circulant dans le sens opposé de c à e en traversant R2.

La valeur de -1 A obtenue pour I₂ montre que le courant traversant R₂ et produit par V₁ est supérieur au courant produit par V₂.

Le résultat conduit à un courant net de 1 A circulant de c à e à travers la résistance R₂.

Le sens réel de I₂ apparaît sur la figure 8-4 avec toutes les valeurs permettant de résoudre ce circuit. Remarquons que la polarité de V₂ est inversée par rapport à la polarité supposée de la figure 8-3.

Étant donné que le flux d'électrons net traversant effectivement R₂ circule de c à e, l'extrémité c de R₂ est l'extrémité négative. Toutefois, la polarité de V₂ est la même sur les deux schémas, car il s'agit d'une source de tension qui engendre sa propre polarité.

Calcul du courant I₃ traversant R₃:

I₃ = I₁ + I₂ = 5 + (-l)

I₃ = 4A

Le courant I₃ de 4 A est dans le sens supposé et circule de c à d.

Bien que le signe négatif pour I₂ signifie uniquement que le sens est inversé, sa valeur algébrique de -1 doit être utilisée dans l'équation algébrique écrite pour le sens supposé.

Calcul des tensions

Connaissant les courants, on peut calculer la tension aux bornes de chaque résistance de la manière suivante:

VR₁ = I₁/R₁ = 5 x 12 = 60V

VR₂=I₂R₂ = 1 x 3= 3V

VR₃ = I₃R₃ = 4 x 6 = 24 V

On doit considérer tous les courants comme étant positifs, dans le sens voulu, pour pouvoir calculer les tensions.

La polarité de chaque chute de tension IR est alors déterminée à partir du sens réel du courant, avec un flux d'électrons pénétrant dans l'extrémité négative (voir la figure 8-4).

Remarquons que V_R2 et V_R3 ont des polarités opposées dans la boucle 2. La somme de +3 V et de -24 V est donc égale à la tension V₂ de -21 V.

Vérification de la solution

La figure 8-4, pour résumer toutes les réponses de ce problème, montre un réseau avec l'ensemble des courants et des tensions. La polarité de chaque tension V est marquée à partir des sens connus.

Lors de la vérification des réponses, nous pouvons voir si les lois des courants et des tensions de Kirchhoff ont bien été appliquées:

Au point c: 5a = 4a + 1a

Au point d: 4a + 1a = 5a

Autour de la boucle avec V₁.

84V - 60V-  24V = 0

(Sens des aiguilles d'une montre à partir de b.)

Autour de la boucle avec V₂:

21V + 3V - 24V = 0

(Sens opposé aux aiguilles d'une montre à partir de/.)

On remarquera que le circuit a été résolu en utilisant seulement les deux lois de Kirchhoff, sans aucune des règles spéciales pour les circuits série et parallèle.

Tout circuit peut se résoudre en appliquant uniquement la loi des tensions de Kirchhoff autour d'une boucle et la loi des courants de Kirchhoff à un noeud.

Problèmes pratiques 8.3 (réponses à la fin du chapitre)

Considérer la figure 8-4:

(a) Calculer la tension autour du trajet cefd;

(b) Calculer la tension autour de la boucle cefdc.

8.4 ANALYSE DE LA TENSION AUX NOEUDS

Dans la méthode des courants de branches, ces courants servent à spécifier les chutes de tension autour des boucles. On écrit alors des équations pour répondre à la loi de Kirchhoff sur la tension. En résolvant les équations de boucle, il est possible de calculer les courants de branches inconnus.

Une autre méthode utilise les chutes de tension pour spécifier les courants à un point d'embranchement appelé également noeud.

On écrit alors les équations aux noeuds des courants pour répondre à la loi des courants de Kirchhoff. En résolvant les équations aux noeuds, nous pouvons calculer ces tensions aux noeuds inconnus. Cette méthode d'analyse de la tension aux noeuds est souvent plus rapide que la méthode des courants de branches.

Un noeud n'est qu'une connexion commune à deux composants ou plus. Un noeud principal comporte trois connexions ou plus.

En effet, un noeud principal n'est qu'un branchement, ou point de dérivation, où les courants peuvent se diviser ou se combiner. Par conséquent, il est toujours possible d'écrire une équation des courants à un nœud principal.

Dans la figure 8-5 les points N et G sont des noeuds principaux.

Figure 8-5 Analyse de la tension aux noeuds pour le même circuit que celui montré sur la figure 8-3. Se reporter au texte pour la solution obtenue en trouvant la tension V_n aux bornes de R₃, entre le noeud principal et la masse.

Toutefois, un noeud doit être une référence pour désigner la tension sur tout autre noeud. Dans la figure 8-5, le point G relié à la masse du châssis est le noeud de référence.

Par conséquent, il suffira d'écrire une seule équation de courants, pour l'autre noeud N. En général, le nombre des équations de courants exigées pour résoudre un circuit est inférieur d'une unité au nombre de ses noeuds principaux.

Écriture des équations aux noeuds Le circuit de la figure 8-3 résolu auparavant par la méthode des courants de branches est dessiné une nouvelle fois dans la figure 8-5 pour être résolu ici par l'analyse des tensions aux noeuds.

Le problème consiste alors à trouver la tension au noeud V_n de N à G. On peut déterminer tous les autres courants et tensions si on connaît cette tension.

Les courants entrant et sortant du noeud N sont déterminés comme suit:

I₁ est le seul courant passant par la résistance R₁ de 12 Ω.

Par conséquent, I₁ vaut V_R1/R₁ ou V_R1/12 Ω. De la même façon, I₂ vaut V_R2/3 Ω.

Enfin, I₃ vaut VR₃/16 Ω.

Remarquons que V_R3 est la tension au noeud VN que nous devons calculer. Par conséquent I₃ peut également être écrit comme VN/6 Ω.

L'équation des courants au noeud N est:

I₁ + I₂ = I₃

ou

Le problème comporte ici trois inconnues, mais V_R1 et V_R2 peuvent être déterminés en fonction de VN et des valeurs connues de V₁ et de V₂.

Nous pouvons utiliser la loi des tensions de Kirchhoff car la tension appliquée V doit égaler la somme algébrique des chutes de tension. Pour la boucle avec V₁ = 84 V, on a:

V_R1 + VN = 84 ou V_R1 = 84-VN

Pour la boucle avec V₂ = 21 V, on a: V_R2 + VN = 21 ou V_R2 = 21 - VN

Remplaçons ces valeurs de V_R1 et de V_R2 dans l'équation des courants où I₁ + I₂ = I₃.

Ne pas oublier que I₁ vaut V_R1/12Ω, I₂ vaut V_R2/3Ω, et I₃ vaut VN/6Ω.

Par conséquent:

Cette équation n'a qu'une inconnue, VN.

En simplifiant les fractions par la multiplication de chaque terme par I₂, l'équation devient:

(84-VN) + 4(21-VN) = 2VN

84- VN + 84-4 VN = 2 VN

-7 VN = -168

VN = 24V

La réponse de 24 V pour VN est la même que celle calculée pour V_R3 par la méthode des courants de dérivation. La valeur positive signifie que le sens de I₃ est correct, rendant VN négatif au sommet de R₃ dans la figure 8-5.

Calcul de tous les courants et de toutes les tensions La raison qui fait chercher la tension à un noeud, plutôt qu'une autre tension, est qu'une tension à un noeud doit être commune à deux boucles. Il en résulte que la tension aux noeuds peut être utilisée pour calculer toutes les tensions dans les boucles.

Dans la figure 8-5, la tension VN étant de 24 V, VR1 doit donc être 84-24 = 60 V.

De même, il vaut 60 V/12 Ω, ce qui est égal à 5 A.

La valeur de V_Rz est égale à 21 —24, soit - 3 V.

Cette réponse négative signifie que I₂ est opposé au sens supposé et que la polarité de V_R2 est à l'inverse des signes montrés sur R₂ dans la figure 8-5.

Les sens corrects apparaissent dans la figure 8-4, donnée pour calculer le circuit.

La grandeur de I₂ est 3 V/3 Ω, ce qui est égal à 1 A.

Les comparaisons suivantes pourront faciliter l'emploi des équations aux noeuds et aux boucles. Une équation aux noeuds applique la loi habituelle de Kirchhoff aux courants entrant et sortant d'un noeud.

Toutefois, les courants sont définis comme V/R pour que l'équation des courants puisse être résolue, afin de trouver une tension de noeud.

Une équation de boucle applique la loi des tensions de Kirchhoff aux tensions autour d'un parcours fermé.

Cependant, les tensions sont définies comme IR pour que l'équation des tensions puisse être résolue afin de trouver un courant de boucle.

On utilise cette méthode des équations de tension pour la méthode des des courants de branches expliquée plus haut par la figure 8-3 ainsi que pour la méthode des courants de mailles qui seront décrits dans la figure 8-6.

Problèmes pratiques 8.4 (réponses à la fin du chapitre)

(a) Déterminer le nombre de noeuds principaux du circuit de la figure 8-5.

(b) Combien faut-il d'équations aux noeuds pour calculer un circuit ayant trois noeuds principaux?

8.5 MÉTHODE DES COURANTS DE MAILLES

Une maille est le parcours fermé le plus simple.

Le circuit de la figure 8-6 a deux mailles, acdba et cefdc. Le parcours extérieur acefdba est une boucle et non pas une maille.

Figure 8-6 Même circuit que celui présenté sur la figure 8-3, analysé en considérant deux mailles. Se reporter au texte pour la solution obtenue en calculant les courants de mailles supposés IA et IB.

Chaque maille ressemble à une seule embrasure de fenêtre. Il n'existe qu'un parcours sans aucune branche.

On suppose qu'un courant de mailles circule autour d'une maille sans se diviser.

Dans la figure 8-6, le courant de maille I_A traverse V₁, R₁ et R₃; le courant de maille I_B traverse V₂, R₂ et R₃. Une résistance commune à deux mailles comme R3 est traversée par deux courants de mailles qui seront dans ce cas I_A et I_B.

Les courants de mailles et les courants de branches se différencient parce que les courants de mailles ne peuvent se diviser à un point de branche.

Un courant de maille est un courant supposé tandis qu'un courant de branche est un courant réel. Toutefois, si l'on connaît les courants de maille, on peut déterminer tous les courants individuels et les tensions.

Par exemple, la figure 8-6 qui a le même circuit que la figure 8-3 peut maintenant être résolue en utilisant les courants de mailles supposés, I_A et I_B.

Les équations de mailles seront:

18I_A - 6I_B = 84 V (maille A)

-6I_A + 9I_B= -21 V (maille B)

Écriture des équations de mailles

Le nombre des mailles est égal au nombre des courants de mailles qui correspond au nombre des équations nécessaires. On utilise ici deux équations pour I_A et I_B dans les deux mailles.

Le courant supposé est pris habituellement dans le même sens autour de chaque maille, pour qu'il soit logique.

En général, le sens des aiguilles d'une montre est le plus couramment utilisé, comme l'indique la figure 8-6 pour I_A et I_B.

Dans chaque équation de maille, la somme algébrique des chutes de tension est égale à la tension appliquée.

Les chutes de tension s'additionnent en parcourant une maille dans le même sens que le courant de maille.

Toute chute de tension dans une maille, produite par son propre courant de maille, est tenue pour positive, car elle s'ajoute dans le sens du courant de la maille.

Étant donné que toutes les chutes de tension d'un courant de maille dans sa propre maille doivent avoir le même signe positif, on peut les considérer globalement comme une seule chute de tension, en ajoutant toutes les résistances dans la maille.

Par exemple, dans la première équation pour la maille A, la résistance totale est égale à 12 + 6, ou 18 Ω.

Par conséquent, la chute de tension pour I_A est 18I_A, dans la maille A.

Dans la deuxième équation pour la maille B, la résistance totale est 3 + 6, ou 9 Ω, ce qui donne une chute de tension totale de 9I_B pour I_B dans la maille B. Il est possible d'additionner toutes les résistances dans une maille pour former une résistance RT, car on peut les considérer en série pour le courant de maille supposé.

Toute résistance commune à deux mailles est parcourue par deux courants de mailles opposés.

Dans la figure 8-6, I_A circule vers le bas tandis que I_B circule vers le haut en traversant la résistance commune R3, les deux courants étant dans le sens des aiguilles d'une montre.

Il en résulte qu'une résistance commune donne lieu à deux chutes de tension qui s'opposent. L'une des tensions est positive et correspond au courant de maille dont l'équation est en cours d'écriture. La tension opposée est négative et correspond au courant de la maille adjacente.

Dans la maille A, la résistance R₃ de 6 Ω commune donne lieu aux chutes de tension opposées 6I_A et -6I_B.

La chute de tension de 6I_A aux bornes de R₃ s'ajoute à la chute de tension 12I_A aux bornes de R₁ pour donner la chute de tension globale de 18I_A dans la maille A.

Avec une tension en opposition de -6I_B, l'équation de la maille A s'écrit :

18I_A - 6I_B = 84V.

La même notion s'applique à la maille B.

Toutefois, la tension 6I_B est maintenant positive car cette équation est celle de la maille B.

La tension -6I_A est ici négative car I_A concerne la maille adjacente. La tension 6I_B s'ajoute à la tension 3I_B de R₂ pour fournir la chute de tension totale de 9 I_B dans la maille B.

Avec la tension en sens opposé de —6I_A, l'équation de la maille B sera alors:

—6I_A + 9I_B = 21 V

Le signe algébrique de la source de tension dans une maille dépend de sa polarité.

Lorsque le courant de maille supposé circule vers sa borne positive, comme pour V₁ dans la figure 8-6, on le considère comme positif dans le second membre de l'équation des mailles.

Ce sens du flux d'électrons produit des chutes de tension qui doivent s'ajouter pour égaler la tension appliquée.
Lorsque le courant de maille circule vers la borne négative, comme pour V₂ dans la figure 8-5, on le considérera comme étant négatif.

C'est pourquoi V₂ vaut -21V dans l'équation pour la maille B. V₂ sera donc en réalité une charge pour la plus grande tension appliquée de V₁ et non une source de tension, la somme algébrique des chutes de tension devant être égale à zéro.

Solution des équations de mailles pour trouver les courants de mailles

Les deux équations relatives aux deux mailles de la figure 8-6 sont:

18I_A-6I_B = 84

-6I_A + 9I_B=-21

Ces équations ont les mêmes coefficients que les équations de tension écrites pour les courants de branches, mais les signes sont différents parce que les sens des courants de mailles supposés ne sont pas les mêmes que ceux des courants de branches.

La solution donnera les mêmes réponses pour l'une ou l'autre des méthodes, mais il faut veiller à ce que les signes algébriques restent logiques.

On doit utiliser soit les règles relatives aux mailles avec les courants de mailles, soit les règles relatives aux boucles avec les courants de branches, mais il faut éviter de mélanger les deux méthodes.

Pour des coefficients plus faibles, on doit diviser la première équation par 2 et la seconde équation par 3.

Donc:

9I_A- 3I_B = 42

-2I_A + 3I_B=-7

Additionner les équations, terme par terme, pour éliminer I_B.

Donc:

7I_A = 35

Pour le calcul de I_B, remplacer I_A par 5 dans la deuxième équation:

-2(5) + 3I_B = 7

3I_B = -7 + 10 = 3

I_B = 1A

Ces solutions positives signifient que le flux d'électrons correspondant à I_A et à I_B circule réellement dans le sens des aiguilles d'une montre comme on l'a supposé.

Si l'on trouve un courant de maille négatif, son sens est opposé au sens supposé.

Trouver les courants de branches et les chutes de tension