K-Map à deux variables

Conception logique numérique

Voir Aussi

K-Map à trois variables, K-Map à quatre variables, K-Map à cinq et six variables

Introduction :

Lorsqu'une fonction booléenne se compose de deux variables (en supposant x et y), alors deux variables K-Map sont utilisées pour simplifier cette fonction booléenne.

Une K-Map à deux variables se compose de 2² = 4 cellules, où chaque cellule représente un minterm dans le cas où la fonction booléenne est sous forme SOP (Somme des Minterms) ou un maxterm dans le cas où la fonction booléenne est sous forme POS (ou Produit de Maxterm).

Nous discuterons de la simplification des fonctions booléennes SOP et POS une par une.

Simplification de deux fonctions booléennes variables sous forme SOP (ou Sum of Minterms) à l'aide de K-Map :

Deux minterms de fonction booléenne variable sont présentés dans le tableau ci-dessous. 

Tableau Minterms pour deux fonctions booléennes variables

La K-Map à deux variables est composée de 4 carrés, où chaque carré représente 1 minterm, comme le montrent les figures ci-dessous.

Notez que les cellules adjacentes ne diffèrent que par une seule variable et que les cellules sont dans une séquence binaire.

K-Map à deux variables

Minterms sur deux K-Map variables

Règles pour simplifier deux fonctions booléennes variables exprimées sous forme de somme de produit (ou de somme de termes) à l'aide de K-Map :

Les règles pour simplifier toute fonction booléenne à deux variables sous forme SOP à l'aide de K-Map sont :

i. Exprimez la fonction booléenne donnée sous forme SOP, si la fonction booléenne donnée n'est pas sous forme SOP.

ii. Marquez '1' dans toutes les cellules dont les minterms sont présents dans une fonction booléenne donnée.

iii. Regroupez les 1 qui se trouvent dans les cellules adjacentes pour former des paires/paires ou quad (la paire et le quad sont discutés plus tôt). Le premier quad est formé si possible, puis la paire est formée.

iv. Nous obtiendrons une variable commune et/ou un terme de produit à partir de paires/paires et de quad.

 Additionnez ces variables communes et/ou termes de produit obtenus pour former une fonction booléenne simplifiée.

Voici quelques exemples pour illustrer la simplification de la fonction booléenne sous forme SOP à l'aide de K-Map en suivant les règles ci-dessus.

Exemple: Simplifiez la fonction booléenne F₁ = x'y + xy en utilisant K-Map.

Solution :

F₁ = x'y + xy

Les étapes sont :

Étape 1 : Puisque la fonction F₁ est sous forme SOP, passez à l’étape suivante.

Étape 2 : Marquez '1' dans toutes les cellules dont les minterms sont présents dans la fonction F₁.

Ces termes sont : x'y, xy.

Étape 3 : Regroupez les 1 dans les cellules adjacentes pour former une paire.

Étape 4 : La variable commune dans la paire est y et cette simplification de F₁ utilisant K-Map, est illustrée à la figure ci-dessous.

Donc à partir de K-Map simplifié F₁ = y

K-Map affichée pour F₁ = x'y + xy

Exemple:

Simplifiez la fonction booléenne F₂ = x'y' + x'y + xy' + xy à l'aide de K-Map.

Solution :

F₂ = x'y' + x'y + xy' + xy

Si nous simplifions F₂ en utilisant la méthode algébrique, nous obtiendrons F₂ =1 simplifié.
(Faites vous-même la simplification algébrique).

L'utilisation désormais de la simplification de K-Map est illustrée ci-dessous.

Les étapes sont :

Étape 1 : Puisque la fonction F₂ est sous forme SOP, passez à l'étape suivante.

Étape 2 : Marquez '1' dans toutes les cellules dont les minterms sont présents dans la fonction F₂.

Ces termes sont : x'y, xy', x'y' et xy.

Étape 3 : Regroupez les 1 dans les cellules adjacentes pour créer un Quad.

Étape 4 : La simplification de F₂ à l'aide de K-Map est illustrée à la figure ci-dessous.

Donc à partir de K-Map simplifié F₂ = 1.

K-Map affichée pour F₂ = x'y + xy' + x'y' + xy

Exemple 8 : Simplifiez la fonction booléenne F₃ = x + x'y en utilisant K-Map.

Solution : F₃ = x + x'y

Les étapes sont :

Étape 1 : Puisque la fonction F₃ n’est pas sous forme SOP, créez-la d’abord sous forme SOP.

F₃ = x + x'y

Multipliez x par y + y'.

Donc,

F₃ = x(y + y') + x'y = xy + xy' +x'y

Maintenant F₃ = xy + xy' +x'y sous forme SOP

Étape 2 : Marquez '1' dans toutes les cellules dont les minterms sont présents dans la fonction F₃.

Ces termes sont :

xy, xy',x'y.

Étape 3 : Regroupez les 1 dans les cellules adjacentes pour former des paires.

Étape 4 : La simplification de F₃ à l'aide de K-Map est illustrée à la figure ci-dessous.

Figure : K-Map illustrée pour F₃ = xy +xy' +x'y'

Donc à partir de K-Map F₃ simplifié

F₃ = x + y.

Simplification de la fonction booléenne à deux variables sous la forme produit de somme (ou produit de Maxterm) à l'aide de K-Map :

Deux fonctions booléennes variables maxterms sont présentées dans le tableau ci-dessous:

Deux K-Map variables pour la fonction booléenne POS sont illustrées dans les figures ci-dessous.

Chaque cellule représente un terme maximum.

Pour deux variables, il y a 2² = 4 cellules.

Notez que les cellules adjacentes ne diffèrent que par une seule variable et que les cellules sont disposées en séquence binaire.

K-Map à deux variables

Minterms sur deux K-Map variables

Règles pour simplifier deux fonctions booléennes variables exprimées sous forme de produit de somme (ou produit de Maxterms) à l'aide de K-Map :

Les règles pour simplifier n'importe quelle fonction booléenne à deux variables sous forme POS à l'aide de K-Map sont :

i. Exprimer la fonction booléenne donnée sous forme POS, si la fonction booléenne donnée n'est pas sous forme POS.

ii. Marquez « 0 » dans toutes les cellules dont les termes maximum sont présents dans la fonction booléenne donnée.

iii. Regroupez les 0 qui se trouvent dans les cellules adjacentes pour former une paire ou un quad (la paire et le quad ont été évoqués plus tôt). Si possible, un premier quad est formé, puis une paire.

iv. Nous obtiendrons la variable commune et le terme somme de la paire et du quad. Faite le produit de ces variables communes et ces termes de somme obtenus pour former une fonction booléenne simplifiée.

Voici quelques exemples pour illustrer la simplification de la fonction booléenne sous forme POS à l'aide de K-Map en suivant les règles ci-dessus.

Exemple: Simplifiez la fonction booléenne F₁ = (x' + y) . (x + y)= ΣM(0,2) en utilisant K-Map.

Solution : F₁ = (x '+ y) . (x + y) Les étapes sont :

Étape 1 : Puisque la fonction F₁ est dans sa forme POS, alors passez à l’étape suivante.

Étape 2 : Marquez « 0 » dans toutes les cellules dont les termes maximum sont présents dans la fonction F₁.

Ces termes sont : x' + y et x + y.

Étape 3 : Regroupez les 0 dans les cellules adjacentes. Un binôme se forme.

Étape 4 : La simplification de F₁ à l’aide de K-Map est illustrée à la figure ci-dessous.

K-Map affichée pour F₁=*(x' + y) . (x + y)

Donc à partir de K-Map simplifié F₁ = y.

Exemple :

Simplifiez la fonction booléenne F₂ = (x' + y') . (x' + y) . (x + y') . ( x + y)= ΣM(0,2) en utilisant K-Map.

Solution :

F₂ = (x' + y') . (x'  + y) . (x + y') . (x + y)

Les étapes sont :

Étape 1 : Puisque la fonction F2 est sous forme de point de vente, passez à l’étape suivante.

Étape 2 : Marquez « 0 » dans toutes les cellules dont les termes maximum sont présents dans la fonction F₂.

Ces termes sont : = (x' + y'), (x' + y), (x + y') et (x + y)

Étape 3 : Regroupez les 0 dans les cellules adjacentes. Un quad se forme.

Étape 4 : La simplification de F₂ à l'aide de K-Map est illustrée à la figure ci-dessous.

K-Map affichée pour F₂ = (x' + y) . (x' + y) . (x + y') . (x + y)

Par conséquent, à partir de K-Map simplifié F₂ = 0.

Si nous simplifions F₂ en utilisant la méthode algébrique, alors nous obtiendrons F₂ = 0 simplifié (faites vous-même la simplification algébrique.

Exemple : Simplifiez la fonction booléenne F₃ = x . (x '+ y) en utilisant K-Map.

Solution : F₃ = x + x'y

Les étapes sont :

Étape 1 : Puisque la fonction F3 n’est pas sous forme POS, créez-la d’abord sous forme POS.

F₃ = x . (x' + y )

Ajouter y . y' à x.

Donc,

F₃ = x +(y . y') . (x' + y)

= (x + y) . (x + y') . (x' + y)

Maintenant F₃ = (x + y) . (x + y') . (x' + y) est sous forme POS.

Étape 2 : Marquez « 0 » dans toutes les cellules dont les termes maximum sont présents dans la fonction F₃.

Ces termes maximaux sont : x + y, x + y', x'+ y.

Étape 3 : Regroupez les 0 dans les cellules adjacentes pour former des paires.

Étape 4 : Produit les variables communes x et y obtenues respectivement à partir des paires 1 et 2.

La simplification de F₃ à l’aide de K-Map est illustrée à la figure ci-dessous.

D'où de K-Map simplifié F₃ = x. y = xy

Figure: K-Map affichée pour F₃