Chapitre 9 - Théorèmes sur les réseaux

Mon premier cours en électronique

Un réseau n'est que l'association de composants, comme des résistances, connectés les uns aux autres d'une manière quelconque.

Mais les lois des circuits en série et en parallèle ne suffisent généralement pas pour analyser ces réseaux. Les lois de Kirchhoff s'appliquent toujours, mais les théorèmes sur les réseaux conduisent, dans de nombreux cas, à des méthodes d'analyse plus rapides.

Cela s'explique parce que les théorèmes des réseaux nous permettent de convertir les réseaux en un circuit plus simple, équivalent à l'original. On peut alors résoudre ce circuit équivalent à l'aide des formules des circuits série et des circuits parallèle.

On n'indiquera ici que les applications, bien que tous les théorèmes sur les réseaux puissent se déduire des lois de Kirchhoff.

On remarquera aussi que les exemples donnés concernent des réseaux de résistances alimentés par piles, mais les théorèmes s'appliquent aux réseaux alternatifs et aux réseaux continus.

Les détails concernant les théorèmes sur les réseaux sont donnés dans les sections suivantes:

9.1 Théorème de superposition

9.2 Théorème de Thévenin

9.3 Application du théorème de Thévenin à un circuit comprenant deux sources de tension

9.4 Application du théorème de Thévenin à un circuit en pont

9.5 Théorème de Norton

9.6 Conversion entre les circuits de Thévenin et de Norton

9.7 Conversion entre sources de tension et sources de courant

9.8 Théorème de Millman

9.9 Réseaux en T et en π

9.1 THÉORÈME DE SUPERPOSITION

Ce théorème est particulièrement utile car il étend la loi d'Ohm aux circuits qui ont plus d'une source.

En résumé, on peut calculer l'influence d'une source, à un moment donné, puis superposer les résultats de toutes les sources.

Le théorème de superposition s'énonce ainsi:

Dans un réseau comprenant deux sources ou plus, le courant ou la tension relatifs à un composant quelconque est la somme algébrique des effets produits par chaque source agissant séparément.

Pour utiliser une source à la fois, on «arrête» momentanément toutes les autres sources. Ceci signifie la neutralisation de la source pour qu'elle ne puisse plus produire ni tension ni courant sans modifier la résistance du circuit.

On neutralise une source de tension comme une pile en supposant qu'il y a un court-circuit entre ses deux bornes.

Diviseur de tension à deux sources

Le problème de la figure 9-1 consiste à trouver la tension en P par rapport à la masse commune pour le circuit représenté en (a).

Figure 9-1 Théorème de superposition appliqué à un diviseur de tension à deux sources:

(a) circuit réel avec +130 V entre P et la masse commune;

(b) V₁ appliquant +160 V en P;

(c) V₂ appliquant -30 V en P.

La méthode consiste à calculer la tension produite au point P par chaque source, séparément, comme on l'indique aux figures 9-1 b et c, puis à superposer ces tensions.

Pour trouver l'influence de V₁, il faut d'abord court-circuiter V₂ comme on l'indique à la figure 9-lb. Remarquez que le bas de R₁ se trouve alors relié à la masse commune par le court-circuit aux bornes de V₂.

Par conséquent, R₂ et R₁ constituent un diviseur de tension en série aux bornes de la source V₁.

En outre, la tension aux bornes de R₁ devient égale à la tension entre P et la masse.

Pour trouver la tension V_R1 produite aux bornes de R₁ par la contribution de la source V₁, on applique la formule du diviseur de tension:

V_R1= 160 V

Cette tension en P est positive puisque la tension V₁ est positive.

On cherche ensuite l'effet de la tension V₂ seule, quand la source V₁ est court-circuitée, comme sur la figure 9-1e.

Le point a, en haut de la résistance R₂, est alors mis à la masse.

Les résistance R₁ et R₂ forment de nouveau un diviseur de, tension mais, dans ce cas, la tension de la résistance R₂ est la tension entre P et la masse.

Avec un côté de R₂ à la masse et l'autre côté au point P, V_R2 est la tension à calculer. Il s'agit encore d'un diviseur de tension mais, dans ce cas, pour la source de tension négative V₂.

On applique la formule du diviseur de tension pour obtenir la tension V_R2, contribution de la tension V₂, à la tension au point P:

Cette tension est négative en P puisque la tension V₂ est négative.

Finalement, la tension totale au point P est:

V_P = V_R1 + V_R2 = 160 - 30

V_P =130V

Cette somme algébrique est positive, pour la tension V_P résultante, puisque la tension positive V_R1 est plus grande que la tension négative V.

Grâce à des superpositions, ce problème s'est donc réduit à celui de deux diviseurs de tension.

On peut appliquer la même méthode à plus de deux sources. Chaque diviseur de tension peut aussi comprendre un nombre quelconque de résistances en série.

Conditions permettant la superposition

Tous les composants doivent être linéaires et bilatéraux pour que l'on puisse superposer les tensions et les courants. Linéaire, signifie que le courant est proportionnel à la tension appliquée.

On peut ensuite superposer les courants calculés pour différentes sources de tension.

Bilatéral signifie que le courant a la même valeur pour des polarités opposées de la source de tension. On peut donc combiner algébriquement les valeurs de courants ayant des directions opposées.

Les réseaux comprenant des résistances, des condensateurs et des inductances à air sont généralement linéaires et bilatéraux. Ce sont aussi des composants passifs, c'est-à-dire qu'ils n'amplifient pas et qu'ils ne redressent pas.

Des composants actifs, comme des transistors, des diodes semi-conductrices et des tubes électroniques ne sont jamais symétriques et ne sont généralement pas linéaires.

Problèmes pratiques 9.1 (réponses à la fin du chapitre)

(a) Soit la figure 9-lb. Quelle résistance a une extrémité mise à la masse?

(b) Soit la figure 9-lc. Quelle résistance a une extrémité mise à la masse?

9.2 THÉORÈME DE THÉVENIN

Ce théorème qui doit son nom à l'ingénieur français M.L. Thévenin est très utile pour simplifier les tensions dans un réseau.

Grâce au théorème de Thévenin, on peut représenter de nombreuses sources et de nombreux composants, quelle que soit la manière dont ils sont connectés, par un circuit série équivalent entre deux bornes quelconques du réseau (voir figure 9-2).

Figure 9-2 Tout réseau du carré de gauche peut être ramené au circuit de Thévenin équivalent de droite.

On peut imaginer que le carré de gauche contient un réseau connecté aux bornes a et b. Le théorème de Thévenin indique que tout le réseau connecté entre a et b peut être remplacé par une seule source de tension V_Th en série avec une seule résistance R_Th connectées aux deux mêmes bornes.

V_Th est la tension en circuit ouvert aux bornes a et b.

Ceci signifie que l'on trouve la tension produite par le réseau entre les deux bornes quand le circuit est ouvert entre a et b.

La polarité de V_Th est telle qu'elle produit entre a et b un courant qui a la même direction que celui du réseau original.

R_Th est la résistance en circuit ouvert entre les deux bornes a et b, mais quand toutes les sources sont inactives. C'est-à-dire que l'on cherche la résistance en regardant vers le réseau depuis les bornes a et b.

Bien que les bornes soient en circuit ouvert, un ohmmètre placé entre a et b indiquerait la valeur de R_Th comme étant la résistance des autres passages du courant dans le réseau, sans qu'aucune des sources ne soit active.

Application du théorème de Thévenin à un circuit À titre d'exemple, on considère la figure 9-3a, dans laquelle on désire trouver la tension V_L aux bornes de la résistance R_L de 2Ω et le courant I_L qui traverse cette résistance.

Figure 9-3 Application du théorème de Thévenin:

(a) circuit originel avec les bornes a et b de part et d'autre de R_L;

(b) déconnecter R_L pour trouver V_ab = 24V;

(c) court-circuiter V pour trouver R_ab = 2Ω;

(d) circuit de Thévenin équivalent;

(e) R_L est rebranché entre les bornes a et pour trouver V_L = 12 V.

Pour appliquer le théorème de Thévenin, on débranche mentalement R_L.

Les deux extrémités ouvertes deviennent alors les deux bornes a et b. On cherche maintenant l'équivalent de Thévenin du reste du circuit qui est encore branché à a et b.

D'une manière générale, il faut ouvrir d'abord la portion de circuit à analyser, puis appliquer le théorème de Thévenin au reste du circuit connecté aux bornes ouvertes.

Le seul problème consiste maintenant à trouver la valeur de la tension V_Th en circuit ouvert, aux bornes de a et b et la résistance équivalente R_Th.

L'équivalent de Thévenin est toujours constitué par une seule source de tension en série avec une seule résistance, comme on l'indique à la figure 9-3d.

L'effet produit par l'ouverture de R_L est représenté sur la figure 9-3b.

Il se traduit par l'existence d'un diviseur de tension constitué par les résistances R₁ de 3Ω, et R₂ de 6Ω, puisque R_L est supprimé.

En outre, la tension aux bornes de R₂ est maintenant la même que la tension en circuit ouvert aux bornes a et b.

Par conséquent, quand R_L est déconnecté, la tension V_R2 est égale à la tension V_ab.

C'est la tension V_Th nécessaire au circuit équivalent de Thévenin.

En appliquant la formule du diviseur de tension, on obtient:

V_R2 = 6/9 x 36V = 24V

ou

V_R2 = 24V = V_ab = V_Th

La polarité de cette tension est positive sur la borne a.

Pour trouver R_Th on laisse la résistance R_L de 2Ω déconnectée.

Mais, maintenant, la source V est court-circuitée. Le circuit prend alors l'aspect (c) de la figure 9-3.

La résistance R₁ de 3Ω est maintenant en parallèle avec la résistance R₂ de 6 Ω puisqu'elles sont toutes deux branchées entre les deux mêmes points. La combinaison de ces deux résistances donne une valeur de 18/9, soit 2Ω pour R_Th.

Comme on l'indique à la figure 9-3d, le circuit de Thévenin à gauche des bornes a et b comprend alors la tension équivalente V_Th de 24V en série avec la résistance équivalente V_Th de 2Ω.

Ce circuit équivalent de Thévenin s'applique à n'importe quelle valeur de R_L puisque R_L est débranché.

En réalité, on prend le circuit de Thévenin équivalent au circuit qui excite les bornes ouvertes a et b.

Pour trouver V_L et I_L, on peut finalement rebrancher RL aux bornes a et b du circuit équivalent de Thévenin, comme on l'indique à la figure 9-3e. La résistance R_L se trouve alors en série avec la résistance R_Th et la tension V_Th.

En appliquant alors la formule du diviseur de tension aux résistances R_Th de 2Ω et R_L de 2H, on obtient

V_L = 1/2 x 24V, soit 12V.

On obtient I_L par le quotient de V_L et R_L, c'est-à-dire 12V/2Ω, ce qui fait 6A.

Les réponses obtenues, 6A pour le courant I_L et 12V pour la tension V_L, s'appliquent à R_L dans le circuit original de la figure 9-3a et dans le circuit équivalent de la figure 9-3e. Remarquez que le courant I_L de 6A circule aussi dans R_Th.

On pourrait obtenir les mêmes réponses en résolvant le circuit mixte de la figure 9-3a, par l'application de la loi d'Ohm.

Mais l'application du théorème de Thévenin au circuit a l'avantage de permettre de calculer facilement l'influence de R_L pour différentes valeurs de cette résistance.

Si on suppose que la résistance R_L passe maintenant à 4Ω dans le circuit équivalent de Thévenin, la nouvelle valeur de V_L est de 4/6 x 24 V= 16 V.

La nouvelle valeur de I_L est de 16V/4Ω, c'est-à-dire 4A.

Dans le circuit original, il faudrait reprendre tout le problème chaque fois que l'on fait varier R_L.

Examen d'un circuit depuis les bornes a et b

La direction dans laquelle on doit regarder la résistance d'un circuit mixte dépend de l'endroit où la source est branchée. On calcule en général la résistance totale depuis les bornes extérieures du circuit, en allant vers la source prise comme référence.

Quand la source est court-circuitée pour appliquer le théorème de Thévenin à un circuit, les bornes a et b servent de nouvelle référence.

En regardant vers le circuit, depuis les bornes a et b pour calculer la résistance R_Th, le point de vue s'inverse par rapport à la manière de déterminer V_Th.

En ce qui concerne la résistance R_Th, on imagine qu'une source pourrait être branchée aux bornes a et b, et pour calculer la résistance totale, on opère depuis l'extérieur vers les bornes a et b.

En réalité, un ohmmètre branché entre a et b indiquerait cette résistance.

L'idée d'inverser la référence est illustrée à la figure 9-4.

Figure 9-4 Application du théorème de Thévenin au circuit de la figure 9-3b, mais avec une résistance R₃ de 4Ω en série avec la borne a;

(a) V_ab est toujours de 24V; (b) Rab est de 2 + 4 = 6Ω; (c) circuit équivalent de Thévenin.

En (a), le circuit a ses bornes a et b ouvertes, prêtes pour l'application du théorème de Thévenin.

Ce circuit est semblable à celui de la figure 9-3, mais avec la résistance R₃ de 4Ω intercalée entre R₂ et la borne a. L'important est que R₃ ne change pas la valeur de V_ab créée par la source V, mais que R₃ augmente vraiment la valeur de R_Th.

Quand on examine le circuit depuis les bornes a et b, la résistance R₃ de 4Ω est en série avec la résistance de 2Ω pour former une résistance R_Th de 6Ω, comme l'indique la figure 9-4b.

On peut examiner pourquoi V_ab est toujours de 24 V avec ou sans R₃.

Comme R₃ est branchée à la borne ouverte a, la source V ne peut produire aucun courant dans R₃. Il n'y a donc pas de chute de tension I_R dans R₃.

Un voltmètre indiquerait les mêmes 24V aux bornes de R₂ et entre a et b. Puisque V_ab est de 24 V, il en est de même pour V_Th.

On peut maintenant considérer pourquoi R₃ modifie la valeur de R_Th.

On se souvient qu'il faut travailler de l'extérieur vers ab pour calculer la résistance totale. Les résistances R₁ de 3Ω et R₂ de 6Ω  sont alors en parallèle et forment une résistance combinée de 2Ω.

En outre, ces 2Ω sont en série avec la résistance R₃ de 4Ω, puisque R₃ est sur la ligne principale entre les bornes a et b. Donc, la résistance R_Th est égale à 2 + 4 = 6Ω.

Comme on l'indique à la figure 9-4c, le circuit équivalent de Thévenin est constitué de la tension V_Th de 24V et de la résistance R_Th de 6Ω.

Problèmes pratiques 9.2

(réponses à la fin du chapitre)

Répondre par vrai ou faux.

Pour un circuit équivalent de Thévenin:

(a) On ouvre les bornes a et b pour trouver V_Th et R_Th;

(b) La tension de source n'est rendue inactive que pour déterminer R_Th.

9.3 APPLICATION DU THÉORÈME DE THÉVENIN À UN CIRCUIT COMPRENANT DEUX SOURCES DE TENSION

Figure 9-5 Application du théorème de Thévenin à un circuit comprenant deux sources de tension V₁ et V₂:

(a) circuit originel avec les bornes a et b, de part et d'autre de la résistance centrale R₃;

(b) déconnecter R₃ pour trouver V_ab = -33,6 V;

(c) court-circuiter V₁ et V₂ pour trouver R_ab = 2,4Ω;

(d) circuit équivalent de Thévenin avec la résistance R_L rebranchée entre les bornes a et b.

Le circuit de la figure 9-5a déjà été étudié par les lois de Kirchhoff, mais on peut appliquer le théorème de Thévenin pour trouver le courant I3 qui circule dans la résistance centrale R₃.

Comme indiqué à la figure 9-5a, on marque d'abord les bornes a et b, de chaque côté de R₃.

Sur la figure 9-5b, la résistance R₃ est débranchée. Pour calculer V_Th, on cherche la tension V_ab aux bornes ouvertes.

Méthode de la superposition Comme il existe deux sources, on peut appliquer le théorème de superposition pour calculer V_ab.

On court-circuite d'abord V₂.

La tension V₁ de 84 V est donc partagée entre R₁ et R₂. La tension aux bornes de R₂ est la tension entre a et b.

Pour obtenir la tension aux bornes de R₂, on calcule:

V_R2 = 3/15 x V₁ = 1/5 x (-84)

V_R2 = -16,8 V

C'est la seule contribution de V₁ à V_ab. La polarité sur la borne a est négative.

Pour trouver la tension produite par V₂ entre a et b, on court-circuite V₁.

La tension aux bornes de R₁ se trouve donc entre a et b. Pour calculer la tension apparaissant aux bornes de R₁, on applique la formule du diviseur de tension:

V_R1 = 12/15 x V₂ = 4/5 x (-21)

V_R1= -16,8 V

Chacune des tensions V₁ et V₂ produit une tension de -16,8 V entre les bornes a et b avec la même polarité. Par conséquent, ces deux tensions s'additionnent.

La valeur totale résultante de V_ab, -33,6 V, indiquée sur la figure 9-5b, est la valeur de V_Th.

La polarité négative montre que le point a est négatif par rapport au point b.

Pour calculer R_Th, on court-circuite les sources V₁ et V₂, comme indiqué à la figure 9-5c.

Les résistances R₁ de 12Ω et R₂ de 3Ω sont donc en parallèle entre les bornes a et b.

Leur résistance équivalente est égale à 36/15, soit 2,4Ω, qui est la valeur de R_Th.

Le résultat final est le circuit équivalent de Thévenin de la figure 9-5d avec une résistance R_Th de 2,4Ω et une tension V_Th de 33,6V négative par rapport à la borne a.

Pour trouver le courant qui traverse R₃, il faut rebrancher R₃ comme une résistance de charge aux bornes a et b.

La tension V_Th produit alors un courant qui circule dans la résistance totale formée de la résistance R_Th de 2,4Ω et de la résistance R₃ de 6Ω:

Cette valeur de 4A pour I3 a déjà été calculée précédemment avec les lois de Kirchhoff, sur la figure 8-4.

En résumé, pour appliquer le théorème de Thévenin à ce circuit qui comprend deux sources de tension, on a effectué successivement les opérations suivantes:

on a d'abord débranché R₃ pour ouvrir le circuit entre les bornes a et b et trouver la tension V_ab qui est égale à la tension V_Th.

Pour calculer V_Th on applique le théorème de superposition dans ce circuit qui comprend plus d'une source.

Pour appliquer le théorème de superposition, on n'utilise qu'une seule source à la fois, et on court-circuite toutes les autres sources pour trouver la tension V_ab résultante.

Mais pour la dernière opération, qui correspond au calcul de R_Th, on court-circuite toutes les sources de tension pour trouver la résistance qui apparaît entre les bornes a et b sans qu'aucune tension ne soit appliquée.

On remarque que ce circuit peut être étudié par le théorème de superposition seul, sans utiliser le théorème de Thévenin, à condition de ne pas débrancher la résistance R₃.

Mais en ouvrant le circuit entre a et b pour trouver le circuit équivalent de Thévenin, on simplifie la superposition car le circuit ne comprend plus alors que des diviseurs de tension en série, sans aucune dérivation.

En général, on peut simplifier un circuit en débranchant un composant pour ouvrir le circuit entre a et b et appliquer le théorème de Thévenin.

Méthode rapide

On peut appliquer plus rapidement le théorème de Thévenin au circuit de la figure 9-5b à deux sources de tension alimentant les bornes a et b en utilisant les formules suivantes de V_Th et R_Th:

Les tensions V₁ et V₂ sont négatives, puisque les bornes du haut sont négatives par rapport à la référence en bas du schéma.

Pour calculer R_Th, les deux résistances en série avec les sources sont combinées en parallèle, d'où:

R_Th =  (12 x 3) / (12 + 3) = 36 / 15 = 2,4Ω

Problèmes pratiques 9.3 (réponses à la fin du chapitre)

Soit le circuit équivalent de Thévenin de la figure 9-5d:

(a) Calculer R_T;

(b) Calculer V_RL.

9.4 APPLICATION DU THÉORÈME DE THÉVENIN À UN CIRCUIT EN PONT

Comme second exemple du théorème de Thévenin, on peut trouver le courant qui traverse la résistance R_L de 2Ω au centre du circuit en pont de la figure 9-6a.

Figure 9-6 Application du théorème de Thévenin à un circuit en pont:

(a) circuit originel avec les bornes a et b de part et d'autre de la résistance centrale R_L

(b) déconnecter R_L pour trouver V_ab=-8V;

(c) V étant court-circuité, Rab est de 2 + 2,4 = 4,4Ω;

(d) circuit équivalent de Thévenin dans lequel R_L est rebranchée entre a et b.

Quand on débranche R_L pour ouvrir le circuit entre a et b, on obtient le résultat représenté en (b). On remarque combien cette ouverture a simplifié le circuit.

En remplacement du pont déséquilibré de (a) qu'il faudrait étudier par les lois de Kirchhoff, le circuit équivalent de Thévenin comprend seulement, en (b), deux diviseurs de tension. Les deux diviseurs de tension R₃R₄ et R₁R₂ sont montés aux bornes de la même source de 30V.

Puisque la borne ouverte a est à la jonction des résistances R₃ et R₄, ce diviseur de tension peut être utilisé pour trouver le potentiel au point a.

On peut, de même, trouver le potentiel au point b à partir du diviseur de tension R₁R₂. La tension V_ab est alors la différence entre les potentiels des points a et b.

Observez les tensions des tensions des deux diviseurs. Dans le diviseur constitué par les résistances R₃ de 3Ω et R₄ de 6Ω, la tension inférieure V_R4 est les 6/9 de 30V, soit 20V.

Alors, la tension supérieure V_R3 est égale à 10V, puisque la somme de ces deux tensions doit être de 30V, c'est-à-dire égale à la tension de la source. Leurs polarités sont marquées négatives en haut comme pour V.

De même, dans le cas du diviseur de tension formé des deux résistances R₁ de 6Ω et R₂ de 4Ω, la tension inférieure V_R2 est les 4/10 de 30V, soit 12V.

Alors, la tension supérieure V_R1 est égale à 18V puisque la somme de ces deux tensions doit être égale aux 30V de la source. Leurs polarités sont aussi négatives en haut comme pour V.

Pour trouver V_ab on peut maintenant déterminer les potentiels aux bornes a et b par rapport à la référence commune. On suppose que le côté positif de la source V est relié à la masse du châssis. On peut alors prendre la ligne inférieure du schéma comme référence des tensions.

On remarque que la tension V_R4, en bas du diviseur de tension R₃R₄, est la même que le potentiel de la borne a par rapport à la masse. Elle est de -20V, la borne a étant négative.

De même, dans le diviseur R₁R₂, V_R2 est le potentiel du point b par rapport à la masse. Il est égal à -12V, la borne b étant négative par rapport à la masse.

Par conséquent, la tension V_ab est la différence entre les -20V de a et les -12V de b, ces deux potentiels étant considérés par rapport à la masse commune.

La différence de potentiel V_ab est donc égale à -20 -(-12), c'est-à-dire -20 + 12, ce qui fait -8V.

La borne a est plus négative que la borne b de 8V. Donc, la tension V_Th est de 8V, son côté négatif étant vers a, comme l'indique le schéma équivalent de Thévenin sur la figure 9-6d.

On peut aussi trouver la tension V_ab en faisant la différence entre les tensions V_R3 et V_R1 sur la figure 9-6b.

Dans le cas considéré, V_R3 est de 10V et V_R1 de 18V, ces deux valeurs étant positives par rapport à la ligne supérieure connectée au côté négatif de la source V.

La différence de potentiel entre les bornes a et b est donc de 10 - 18, ce qui fait aussi -8V. Remarquez que la tension V_ab doit avoir la même valeur, quel que soit le chemin utilisé pour la calculer.

Pour trouver R_Th, on court-circuite la source de 30V quand les bornes a et b sont encore en circuit ouvert. Le circuit se présente donc comme sur la figure 9-6c.

En considérant le circuit depuis les bornes a et b, les résistances R₃ de 3Ω et R₄ de 6Ω sont en parallèle et équivalent à une résistance combinée R_Th de 18/9, soit 2Ω.

Ceci s'explique par le fait que R₃ et R₄ sont connectés à la borne a, tandis que leurs extrémités opposées sont reliées par le court-circuit de la source V.

De même, les résistances R₁ de 6Ω et R₂ de 4Ω sont en parallèle et leur combinaison est équivalente à une résistance R_Tb de 24/10, soit 2,4Ω.

En outre, le court-circuit de la source constitue une liaison qui connecte R_Ta et R_Tb en série.

La résistance totale est de 2 + 2,4 = 4,4Ω pour R_ab ou R_Th.

Le circuit équivalent de Thévenin de la figure 9-6d représente le circuit en pont alimentant les bornes a et b, en circuit ouvert, avec une tension V_Th de 8 V et une résistance R_Th de 4,4Ω.

On branche maintenant la résistance R_L de 2Ω entre a et b pour calculer I_L.

Ce courant est:

Ce courant de 1,25A est le courant qui traverse la résistance R_L de 2Ω au centre du pont déséquilibré de la figure 9-6a.

On peut aussi calculer, à partir du circuit équivalent représenté en (d), la valeur du courant I_L pour une valeur quelconque de R_L en (a).

Problèmes pratiques 9.4 (réponses à la fin du chapitre)

Considérer le circuit équivalent de Thévenin illustré à la figure 9-6d et calculer:

(a) R_T

(b) V_RL

9.5 THÉORÈME DE NORTON

Ce théorème, qui doit son nom au physicien E.L. Norton des Bell Téléphone Laboratories, s'emploie pour simplifier un réseau, en ce qui concerne les courants et non plus les tensions.

Il est souvent plus facile d'étudier le partage des courants plutôt que de considérer les tensions.

On peut utiliser le théorème de Norton quand on étudie les courants pour réduire un réseau à un simple circuit parallèle avec une source de courant.

Le principe d'une source de courant consiste à délivrer à la ligne principale un courant qui doit se partager entre les branches en parallèle, ce qui correspond à une source de tension appliquant une tension totale qui se partage entre différents composants connectés en série.

La comparaison est illustrée à la figure 9-7.

Figure 9-7 Formes générales d'une source de tension ou de courant connectée à une charge R_L branchée entre les bornes a et b;

(a) source de tension V en série avec R;
(b) source de courant I avec une résistance R en parallèle;
(c) source de courant I avec conductance G en parallèle.

Exemple de source de courant

On représente souvent une source d'énergie électrique délivrant une tension avec une résistance en série qui figure la résistance interne de la source, comme sur la figure 9-7a.

Cette méthode correspond à la représentation d'une source de tension réelle, comme une batterie pour les circuits à courant continu.

Mais on peut aussi représenter la source comme une source de courant avec une résistance en parallèle, comme sur la figure 9-7b.

De même que la source de tension a une tension nominale de 10V, par exemple, une source de courant peut avoir une valeur nominale de 2A. Lorsqu'on étudie des branches en parallèle, le principe d'une source de courant peut être plus commode que celui d'une source de tension.

Si, sur la figure 9-7b, le courant I est celui d'une source de 2A, 2A seront appliqués quel que soit le circuit connecté entre les bornes a et b.

Si rien n'est branché entre a et b, la totalité des 2A circulera dans la résistance shunt R.

Quand on branche une résistance de charge R_L entre a et b, le courant de 2A se partage suivant la loi de partage du courant entre des branches en parallèle.

On se souvient que des courants en parallèle se répartissent en proportion inverse des résistances mais proportionnellement aux conductances.

C'est pourquoi il peut être préférable de considérer la source de courant comme shuntée par une conductance G, comme indiqué à la figure 9-7c.

On peut toujours convertir les résistances en conductances, puisque 1IR en ohms est égal à G en Siemens.

Le symbole d'une source de courant est un cercle à l'intérieur duquel se trouve une flèche, comme on l'indique aux figures 9-7b et c, pour marquer le sens du courant.

Ce sens doit être le même que celui du courant produit par la polarité de la source de tension correspondante.

On se rappelle qu'une source produit une circulation d'électrons sortant de sa borne négative.

Il existe une différence importante entre les sources de tension et de courant puisque l'on supprime une source de courant en l'ouvrant et une source de tension en la court-circuitant.

En ouvrant une source de courant, on supprime son aptitude à délivrer un courant sans affecter aucune des branches en parallèle.

On court-circuite une source de tension pour supprimer son aptitude à fournir une tension sans affecter aucun des composants en série.

Le circuit équivalent de Norton Comme on l'indique à la figure 9-8, le théorème de Norton montre que l'on peut remplacer tout le réseau branché aux bornes a et b par une seule source de courant IN, en parallèle avec une résistance RN.

Figure 9-8 Tout réseau du carré de gauche peut être ramené au circuit de Norton équivalent de droite

La valeur du courant I_N est égale au courant de court-circuit entre les bornes a et b. Ceci signifie que l'on cherche le courant produit par le réseau entre a et b s'il y a un court-circuit entre ces deux bornes.

La valeur de R_N est la résistance vue depuis les bornes ouvertes a et b. Ces bornes ne sont pas court-circuitées pour calculer R_N mais en circuit ouvert, comme pour calculer la résistance R_Th du théorème de Thévenin.

En réalité, la résistance unique est la même pour les circuits équivalents de Thévenin et de Norton.

Dans le cas du circuit de Norton, cette valeur de R_ab est celle de la résistance R_N en parallèle avec la source de courant; dans le cas du circuit de Thévenin, c'est la résistance R_Th en série avec la source de tension.

Application du théorème de Norton à un circuit

Comme exemple, on calculera à nouveau le courant I_L de la figure 9-9a, qui a déjà été obtenu par le théorème de Thévenin.

Figure 9-9 Circuit identique à celui de la figure 9-3 auquel on applique le théorème de Norton:

(a) circuit originel; (b) court-circuit entre les bornes a et b; (c) le courant de court-circuit est I_N = 36/3 = 12 A;

(d) circuit ouvert entre a et b, mais V est en court-circuit pour trouver R_ab = 2Ω, la même valeur que celle de R_Th,

(e) circuit équivalent de Norton; (f) résistance R_L rebranchée entre les bornes a et b pour trouver I_L = 6A.

La première étape de l'application du théorème de Norton consiste à imaginer un court-circuit entre les bornes a et b, comme on le voit en (b).

Quel est le courant qui circule dans le court-circuit?

On observe qu'un court-circuit entre a et b court-circuite R_L et la résistance R₂ qui est en parallèle.

La seule résistance du circuit est la résistance R₁ de 3Ω en série avec la source de 36 V comme on le voit en (c). Le courant de court-circuit est donc:

I_n = 36V / 3Ω =  12A

Ce courant de 12A est le courant total disponible à la sortie de la source de courant dans le circuit équivalent de Norton représenté sur la figure 9-9e.

Pour trouver RN, on supprime le court-circuit entre a et b et on considère ces bornes en circuit ouvert sans la résistance R_L. On considère maintenant que la tension V est court-circuitée.

Comme indiqué à la figure 9-9d, la résistance vue depuis les bornes a et b est une résistance de 6Ω en parallèle avec une résistance de 3Ω, ce qui équivaut à une résistance R_N de 2Ω.

Le circuit équivalent de Norton, ainsi obtenu, est représenté sur la figure 9-9e. Il est constitué d'une source de courant I_N de 12A shuntée par une résistance R_N de 2Ω.

La flèche de la source de courant indique la direction de la circulation des électrons depuis la borne b jusqu'à la borne a, comme dans le circuit original.

Enfin, pour calculer le courant I_L on connecte de nouveau la résistance R_N de 2Ω entre a et b comme indiqué à la figure 9-9f.

La source de courant délivre toujours 12A mais, maintenant, ce courant se partage entre les deux branches R_N et R_L.

Comme ces deux résistances sont égales, le courant I_N de 12A se partage en 6 A dans chaque branche et I_L est égal à 6A. Cette valeur est égale au résultat obtenu avec le théorème de Thévenin, d'après la figure 9-3.

On peut aussi calculer V_L en faisant le produit I_LR_L soit 6A x 2Ω, ou 12 V.

Considérations sur le courant de court-circuit

Dans certains cas, on peut se demander quel est le courant I_N quand les bornes a et b sont court-circuitées.

Si on imagine un cavalier placé entre a et b pour court-circuiter ces bornes, le courant I_N doit être le courant qui circule dans ce fil entre les bornes a et b.

On se rappellera que tout composant directement branché entre ces deux bornes est également court-circuité par le cavalier.

Ces branches en parallèle n'ont donc pas d'effet. Mais tout composant en série avec les bornes a ou b est en série avec le cavalier. Le courant I_N de court-circuit circule donc aussi dans les composants en série.

À la figure 9-10, on donne un exemple de résistance en série avec le court-circuit entre les bornes a et b.

Figure 9-10 Application du théorème de Norton à un circuit dont le courant de court-circuit I_N est un courant de branche en dérivation:

(a) I_N est de 2A dans le court-circuit entre a et b et dans R₃;

(b) R_N - R_ab = 14,4Ω;

(c) circuit équivalent de Norton.

Dans ce cas, le courant de court-circuit I_N est un courant partiel et non le courant principal.

En (a), le court-circuit relie R₃ aux bornes de R₂. Le courant de court-circuit I_N est alors le même que le courant I₃ qui traverse R₃.

Remarquez que I₃ n'est qu'un courant de branche.

Pour calculer R₃, on applique la loi d'Ohm au circuit.

La combinaison de R₂ et de R₃ en parallèle équivaut à une résistance de 72 / 18, soit 4Ω.

La résistance R_T est de 4 + 4 = 8Ω.

Donc, le courant I_T est de 48V / 8Ω = 6 A.

Ce courant I_T, dans la ligne principale, se partage en 4A dans R₂ et 2A dans R₃.

Le courant I₃ de 2A qui circule dans R₃ traverse le court-circuit entre les bornes a et b. Le courant I_N est donc de 2A.

Pour trouver R_N d'après la figure 9-10b, on enlève le court-circuit des bornes a et b. La source V est maintenant court-circuitée.

La résistance vue depuis les bornes en circuit ouvert a et b correspond à la résistance R₁ de 4Ω en parallèle avec la résistance R₂ de 6Ω.

Cet ensemble équivaut à 24/10, soit 2,4Ω. La résistance de 2,4Ω est en série avec la résistance R₃ de 12Ω, ce qui fait 2,4 + 12 = 14,4Ω pour R_ab.

Le circuit équivalent définitif de Norton est représenté sur la figure 9-10c. Le courant I_N est de 2A puisque ce courant partiel est le courant qui, dans le circuit original, traverse R₃ et le court-circuit des bornes a et b.

La résistance R_N est de 14,4Ω; c'est la résistance vue depuis les bornes a et b en circuit ouvert, quand la source V est court-circuitée, comme dans le cas de R_Th.

Problèmes pratiques 9.5 (réponses à la fin du chapitre)

Répondre par vrai ou faux.

Soit un circuit de Norton:

(a) Pour calculer I_N, court-circuiter les bornes a et b;

(b) Pour calculer R_N, ouvrir les bornes a et b.

9.6 CONVERSION ENTRE LES CIRCUITS DE THÉVENIN ET DE NORTON

Le théorème de Thévenin indique qu'un réseau quelconque peut être remplacé par une source de tension et une résistance en série, tandis que le théorème de Norton indique que le même réseau peut être remplacé par une source de courant et une résistance en shunt.

Il doit donc être possible de passer directement d'un circuit de Thévenin à un circuit de Norton et inversement. Ces conversions peuvent être utiles pour l'étude des réseaux.

Passage d'un circuit de Thévenin à un circuit de Norton

Si on considère le circuit équivalent de Thévenin de la figure 9-11a, quel est le circuit équivalent de Norton?

Figure 9-11 Le circuit équivalent de Thévenin en (a) correspond au circuit équivalent de Norton en (b).

Il suffit d'appliquer le théorème de Norton de la même manière que pour tout autre circuit.

Le courant de court-circuit entre a et b est:

I_N = V_Th / R_Th = 15V / 3Ω = 5A

La résistance, vue depuis les bornes en circuit ouvert a et b quand la source V_Th est court-circuitée, est égale aux 3Ω de R_Th.

Le circuit équivalent de Norton comprend donc une source de courant qui fournit un courant de court-circuit de 5A, shuntée par la même résistance de 3Ω, déjà en série dans le circuit de Thévenin. Les résultats sont présentés sur la figure 9-11b.

Passage d'un circuit de Norton à un circuit de Thévenin Pour effectuer la conversion inverse, on part du circuit de Norton de la figure 9-11b et on revient au circuit de Thévenin original.

Pour ce faire, on applique le théorème de Thévenin de la même manière que pour un autre circuit quelconque.

On trouve d'abord la résistance de Thévenin en regardant depuis les bornes ouvertes a et b.

Mais ici, il faut observer un principe important:

si une source de tension est court-circuitée pour trouver la résistance R_Th, une source de courant doit être en circuit ouvert.

Par conséquent, il n'y a que la résistance R_N de 3Ω, en parallèle avec la résistance infinie de la source de courant déconnectée. La résistance combinée est donc de 3Ω.

En général, la résistance R_N a toujours la même valeur que la résistance R_Th. La seule différence, c'est que la résistance R_N est en parallèle avec la source I_N et que la résistance R_Th est en série avec V_Th.

Il suffit maintenant de calculer la tension en circuit ouvert de la figure 9-11b pour trouver V_Th.

Remarquez que les bornes a et h étant en circuit ouvert, tout le courant de la source de courant passe par la résistance R_N de 3Ω. La tension en circuit ouvert aux bornes a et b est donc de:

I_NR_N = 5A x 3Ω = 15V = V_Th

Nous avons par conséquent retrouvé le circuit de Thévenin original qui comprend la source VTh en série avec la résistance RTh de 3Ω.

Formules de conversion

En résumé, on peut appliquer les formules suivantes pour effectuer ces conversions:

de Thévenin à Norton

R_Th = R_N

V_Th = I_N * R_N

de Norton à Thévenin

R_N = R_Th

I_N = V_Th / R_Th

Aux figures 9-12b et c, on donne un autre exemple de ces conversions.

Figure 9-12 Exemple de conversion entre circuits de Thévenin et de Norton:

(a) circuit originel, identique à celui des figures 9-3a et 9-9a; (b) équivalent de Thévenin; (c) équivalent de Norton.

Problèmes pratiques 9.6 (réponses à la fin du chapitre)

Répondre par vrai ou faux.

Dans les conversions Thévenin-Norton:

(a) R_N et R_Th ont la même valeur;

(b) I_N = V_Th / R_Th;

(c) V_Th = I_N - R_N.

9.7 CONVERSION ENTRE SOURCES DE TENSION ET SOURCES DE COURANT

La conversion de Norton est un exemple particulier du principe général suivant lequel une source de tension quelconque, avec sa résistance en série, peut être convertie en une source de courant équivalente avec la même résistance en parallèle.

Sur la figure 9-13, la source de tension en (a) est équivalente à la source de tension en (b).

Figure 9-13 La source de tension en (a) correspond à la source de courant en (b).

Il suffit de diviser la tension V de la source par sa résistance en série R pour calculer le courant de la source de courant I équivalente, shuntée par la même résistance R. L'une ou l'autre source délivre le même courant et la même tension à un composant quelconque branché entre a et b.

Les conversions entre sources de tension et de courant simplifieront souvent les circuits, surtout s'il y a deux sources ou plus.

Les sources de courant sont plus commodes pour les montages parallèle dans lesquels on peut ajouter ou partager les courants.

Les sources de tension sont plus faciles à utiliser pour les montages série, dans lesquels on peut ajouter ou partager les tensions.

Deux sources dans des branches en parallèle

On suppose que pour le circuit de la figure 9-14a, le problème consiste à trouver le courant I₃ qui circule dans la résistance centrale R₃.

Figure 9-14 Transformation des sources de tension situées dans des branches en parallèle en sources de courant qui peuvent être combinées:

(a) circuit originel;

(b) V₁ et V2 transformées en sources de courant parallèle I₁ et I₂;
(c) circuit comprenant une seule source de courant combinée IT

On remarque que la tension V₁ et la résistance R₁ d'une part, la tension V₂ et la résistance R₂ d'autre part, sont des branches en parallèle avec la résistance R₃. Ces trois branches sont connectées entre les bornes a et b.

Quand on convertit les sources de tension V₁ et V₂ en sources de courant en (b), le circuit ne comprend que des branches en parallèle.

Le courant I₁ est égal à 84/12, soit 7A, tandis que le courant I₂ est égal à 21/3, ce qui fait aussi 7A.

La source I₁ a sa résistance en parallèle égale à 12Ω tandis que la source I₂ a sa résistance en parallèle R égale à 3Ω.

En outre, les sources I₁ et I₂ peuvent être combinées en une seule source de courant équivalente I_T, représentée en (c).

Puisque ces deux sources délivrent des courants de même sens dans R_L, elles s'ajoutent pour former une seule source de courant

I_T = 7 + 7 = 14A.

La résistance shunt R de la source de courant combinée de 14A est la résistance résultant de la combinaison des résistances R₁ de 12Ω et R₂ de 3Ω en parallèle. Cette résistance R est égale à 36/15 soit 2,4Ω, comme on l'a indiqué en (c).

Pour trouver I_L, on peut appliquer la formule du diviseur de courant aux branches de 6 et 2,4Ω qui se partagent le courant I de 14A venant de la source.

On a donc:

I_L = (2,4 x 14) / (2,4 + 6) = 33,6 / 8,4 = 4A

La tension V_R3 aux bornes a et b est égale à I_LR_L, c'est-à-dire à 4 x 6 = 24V.

Ce sont les mêmes valeurs que celles de V_R3 et I₃ obtenues par les lois de Kirchhoff et le théorème de Thévenin, d'après les figures 8-4 et 9-5.

Deux sources en série

En se reportant à la figure 9-15, on suppose que le problème consiste à trouver le courant I_L qui traverse la résistance de charge RL branchée entre les bornes a et b. Ce circuit comprend deux sources de courant I₁ et I₂ branchées en série.

Figure 9-15

Transformation des sources de courant en série en sources de tension que l'on peut combiner pour simplifier le courant:

(a) circuit originel; (b) sources I₁ et I₂ transformées en sources en série V₁ et V₂;

(c) circuit avec une seule source V_T de tension combinée.

On peut, dans ce cas, simplifier le problème en transformant les sources de courant I₁ et I₂ en des sources de tension V₁ et V₂, comme on le montre à la figure 9-15b.

La source I₁ de 2A et sa résistance shunt de 4Ω sont équivalentes à une source de tension V₁ de 4 x 2 = 8V avec une résistance de 4Ω en série.

De même, la source de courant I₂ de 5A et sa résistance shunt R₂ de 2Ω sont équivalentes à une source de tension V₂ de 5 x 2 = 10V, avec une résistance en série de 2Ω.

Les polarités de V₁ et de V₂ produisent une circulation d'électrons de même sens que les sources I₁ et I₂

On peut maintenant combiner les tensions série comme indiqué à la figure 9-15c.

Les tensions V₁ de 8V et V₂ de 10V s'additionnent puisqu'elles sont de même sens pour former une tension V_T de 18V.

Les résistances R₁ de 4Ω et R₂ de 2Ω s'ajoutent pour former une résistance combinée R de 6Ω. C'est la résistance en série avec la source V_T de 18V connectée aux bornes a et b.

La résistance totale du circuit représentée en (c) est R + R_L, soit 6 + 3 = 9 Ω.

La tension appliquée étant de 18 V, le courant I_L est égal à 18/9 = 2A dans R_L, entre les deux bornes a et b.

Problèmes pratiques 9.7 (réponses à la fin du chapitre)

Une résistance de 3Ω est en série avec une source de tension de 21V.

Considérer la source de courant équivalente et calculer:

(a) le courant I;

(b) la résistance shunt R.

THÉORÈME DE MILLMAN

Ce théorème propose un procédé rapide de calcul de la tension commune aux bornes d'un nombre quelconque de branches en parallèle avec différentes sources de tension.

À la figure 9-16, on donne un exemple caractéristique.

Figure 9-16 Exemple d'application du théorème de Millman pour trouver V_xy, tension commune aux bornes des branches comprenant des sources de tension séparées.

Les extrémités de toutes les branches au point y sont connectées à la masse commune. En outre, les extrémités opposées de toutes les branches sont également reliées au point commun x. La tension V_xy est donc la tension commune aux bornes de toutes les branches.

La tension trouvée pour V_xy indique donc l'effet résultant de toutes les sources sur la détermination de la tension en x par rapport à la masse commune.

On calcule cette tension de la manière suivante:

    (9.1)

Cette formule se déduit de la transformation des sources de tension en sources de courant et de la combinaison des résultats. Le numérateur qui comprend des termes en V/R est la somme des sources de courant en parallèle. Le dénominateur qui se compose de termes en 1/R est la somme des conductances en parallèle.

La tension V_xy résultante est donc de la forme I/G ou I x R, qui s'exprime en unités de tension.

Calcul de V_xy

Avec les valeurs de la figure 9-16:

On remarque que dans la branche 3, V₃ est considérée comme une tension négative parce qu'elle rendrait le point x négatif.

 Cependant, toutes les résistances sont positives. La réponse positive pour V_xy montre que le point x est positif par rapport à y.

Dans la branche 2, la tension V₂ est nulle puisque cette branche ne contient pas de source de tension. Mais R₂ figure encore au dénominateur.

On peut appliquer cette méthode à un nombre quelconque de branches à condition qu'elles soient toutes en parallèle sans aucune résistance en série entre les branches.

Dans une branche comprenant plusieurs résistances, on peut trouver la résistance combinée R_T.

Si une branche comporte plusieurs sources de tension, on peut combiner algébriquement ces sources pour obtenir une seule tension totale V_T.

Applications du théorème de Millman

On peut dans de nombreux cas redessiner un circuit pour faire apparaître les branches parallèle et leur tension commune V_xy.

 Ensuite, quand on connaît V_xy, on peut étudier rapidement tout le circuit. Par exemple, on a déjà étudié le circuit de la figure 9-17 selon d'autres méthodes.

Figure 9-17 Circuit identique à celui de la figure 8.4 des lois de Kirchhoff présenté avec des branches en parallèle pour calculer V_xy par le théorème de Millman.

Pour le théorème de Millman, la tension commune V_xy aux bornes de toutes les branches est la même que la tension V₃ aux bornes de R₃.

Cette tension a été calculée par la formule (9.1) de la manière suivante:

Le signe négatif signifie que le point x est du côté négatif de V_xy.

Comme on connaît la tension V₃ égale à 24V aux bornes de la résistance R₃ de 6Ω, I₃ doit être égal à 24/6 = 4A.

On peut calculer de la même manière toutes les tensions et tous les courants de ce circuit. (Voir la figure 8-4 au chapitre 8 - Lois de Kirchhoff.)

Comme autre application, on a retracé sur la figure 9-18 l'exemple de superposition de la figure 9-1 pour faire apparaître les branches en parallèle ayant une tension commune V_xy, que l'on peut calculer par le théorème de Millman.

Figure 9-18 Circuit identique à celui de la figure 9-1 présenté avec des branches en parallèle pour calculer V_xy par le théorème de Millman

On a donc:

Cette valeur de 130V, obtenue par le théorème de Millman pour la tension entre le point P et la masse, est la même que la valeur calculée précédemment par le théorème de superposition.

Problèmes pratiques 9.8 (réponses à la fin du chapitre)

Considérer l'exemple du théorème de Millman de la figure 9-16 et calculer:

(a) V_R2

(b) V_R3

9.9 RÉSEAUX EN T ET EN π