Figure 4.64
Tracé d'une développante

La trajectoire de l'extrémité (ou d'un point) d'une ficelle, lorsque celle-ci est déroulée d'une ligne, d'un polygone ou d'un cercle, s'appelle une développante.

Tracé de la développante d'un segment de droite (Figure 4.64.a).

Soit AB le segment donné.

A partir de AB comme rayon et de B comme centre, tracez le demi-cercle AC.

A partir de AC comme rayon et de A comme centre, tracez le demi-cercle CD.

A partir de BD comme rayon et de B comme centre, tracez le demi-cercle DE.

Continuez ainsi en alternant les centres A et B jusqu'à ce qu'une figure de la grandeur désirée soit obtenue.

Tracé de la développante d'un triangle (Figure 4.64.b).

Soit ABC le triangle donné.

A partir de CA comme rayon et de C comme centre, tracez l'arc AD.

A partir de BD comme rayon et de B comme centre, tracez l'arc DE.

A partir de AE comme rayon et de A comme centre, tracez l'arc EF.

Continuez ainsi jusqu'à ce que la grandeur voulue soit atteinte.

Tracé de la développante D'un carré (Figure 4.64.c).

Soit ABCD le carré donné.

A partir de DA comme rayon et de D comme centre, tracez l'arc de 90° AE.

Poursuivez comme dans le cas de la développante d'un triangle jusqu'à l'obtention de la grandeur désirée.

Tracé de la développante d'un cercle (Figure 4.64.d).

On peut considérer un cercle comme un polygone ayant un nombre infini de côtés. La développante est construite de la façon suivante:

on divise la circonférence en un nombre de parties égales, on trace une tangente à chaque point diviseur, on rapporte, le long de chaque tangente, la longueur de l'arc circulaire correspondant (figure 4.45.c) et on trace la courbe désirée par les points reportés sur les diverses tangentes.

Figure 4.64.e La développante peut être générée par un point d'une ligne qui est enroulée sur un cercle fixe. On peut déterminer les points de la courbe cherchée en rapportant des longueurs égales 0-1, 1-2, 2-3, etc. le long de la circonférence, en traçant une tangente en chaque point diviseur et en poursuivant comme en (d).

La développante d'un cercle est utilisée dans la construction des dents d'engrenage à développante. Dans ce système, la développante constitue la face et une partie du côté des dents des roues d'engrenage; les profils des dents de crémaillères sont des lignes droites.